对"必要性探路"方法的探索(续篇)

2023-11-04 20:20 作者:现代微积分 0人读过 | 我要投稿

前面写了一篇文章，讲述了"必要性探路"这一方法的使用以及完善的过程，新来的读者可以先看前一篇文章：

因此这篇文章默认读者已经了解了前篇的相关知识

这篇文章有几个琐碎的点需要讲，以标粗的大标题分段

规避"探路法"的另一个误区

根据前篇文章的讲解，使用必要性探路的流程是：第一步，找临界点(包括端点和内点)(先得必要性)；第二步，全参放缩，证明取临界值时的临界函数也满足题意(后证充分性)。最后根据不等式传递性完成证明(最后即确定了范围)。这是稳妥正解的流程。

我们以(23年)的全国甲卷导数题为例快速理一遍解题思路：

贴上前一篇的答卷格式的图片(详细过程也在前文写过了，这里理一遍思路就行)

蓝框内为得到范围的必要性，红框之间为证明临界函数，绿框为结合不等式传递性使范围充分性得证，最后下结论确定答案。

简而言之，必要性探路总结起来就是：先得范围必要性，再证范围充分性，所以再次强调究竟哪步是必要性哪步是充分性务必要分清楚。

此主标题下的正文开始：

而正是一些人对其逻辑理解不到位而导致了另一种错解的产生：

来看看其中一种错误的讲法(标红的部分)：

"注意到g(0)=0，我要让它单调递减，就得有 $g'(0)%5Cleqslant%200$ ，这时再证明h(x)递减就方便很多了吧！"

注意了哦，如果万一你们的老师也有这种讲法，那么一定也要提醒Ta别掉进这个逻辑陷阱里了！

乍一看似乎没有什么毛病，毕竟是"探路"嘛，我肯定要猜一个比较完美的情况。但正是这里对原来的措辞表述进行了小修改，让这句话变成了另外一个意思：也即无意间调换了"必要性"和"充分性"的顺序(这就是藏于此的一个很隐蔽的逻辑错误)

不妨来仔细分析一下标红的这些措辞：

"我要让它单调递减"，这里"让"和"令"是一个意思，就是你(通过手段)"命令""迫使"它单调递减。如果要顺着这个逻辑走，那么这里的"手段"就是限制a的范围，具体步骤如下：

令 $g'(x)%3Da-%5Cfrac%7B2%5Csin%5E2x%2B1%7D%7B%5Ccos%5E4x%7D-2%5Ccos%202x%5Cleqslant%20%200%20$

这里具体步骤就是分参，这里不多赘述，主要跟上思路就行

最终得出a的范围： $a%5Cleqslant%203$

"咦？求出的范围根前面得出的范围不是一样的么？"

得出的范围看起来一样，但这两种做法的逻辑却不同了。第一种方法是“令g(x)在x=0附近不增加 $%5CRightarrow%20a%5Cleqslant%203$ ”；而第二种方法是"令g(x)单调递减 $%5CRightarrow%20a%5Cleqslant%203$ "

表粗部分就体现这细微的区别了(划重点了)。虽然两者都有"令"，但得到的范围中，前者保证了必要性，而后者保证了充分性。

"x=0附近不增加"的对立面是"x=0附近增加"，而"x=0附近增加"是绝对不满足题意的，因此我先把这一部分的情况排除掉，因此就有"x=0附近不增加"是一个必要条件。所以这一步"令"是先把范围进行了必要的缩小(即保证了范围的必要性)。

"g(x)单减"的对立面是"g(x)不单减"，而"g(x)不单减"是否一定不满足题意呢？你完全不知道，这是题目决定的(这点在你没有答案前是根本下不了定论的)，因此这一步没办法保证必要性。(换而言之，g(x)不单减时也可能满足题意)

比如这种情形：

只是"不单减"啊，那我只要有一部分递增只要没超过x轴就满足题意了

所以呢，陷入这个逻辑错误的人大概率是误把"单减"的对立面认为是"单增"了。(或许很少人能像我这样揪出如此隐蔽的细节错误了吧)

令一方面，我令g(x)单减，那么这时就有g(x)<g(0)=0，那么说明这个范围下原不等式是成立的，也就是保证了这个范围的充分性。(所以说第二种思路保证的是"充分性"而非"必要性")

因此后面那种思路应该叫"充分性探路"而非"必要性探路"。既然是"充分性探路"，那么下面就是要证明除此之外的部分"不满足题意"(也即证a>3时不满足题意)

换而言之，前者是"先必要后充分"(必要性探路)；后者是"先充分后必要"(充分性探路)

所以你领会到没，细微的言辞的差别，背后展现的是完全不同的两个逻辑！

为此，为了"抬杠"(也即为了反驳这些落入逻辑陷阱中的人)，我亲手出了一道为了坑第二种思路的"陷阱题"：

以下是必要性探路的正解：

以下是误把"充分性探路"当"必要性探路"而造成的错解：

即 $g(x)%3Df'(x)%3D-2%5Csin%20(x%2B%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B3%7D%20)%2B2ax%2B%5Csqrt%7B3%7D%20%5Cgeqslant%200$

注意到g(0)=0，令g(x)递增，

即令 $g'(x)%3D-2%5Ccos%20(x%2B%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B3%7D%20)%2B2a%5Cgeqslant%200$ 恒成立

$a%5Cgeqslant%20%5B%5Ccos%20(x%2B%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B3%7D%20)%5D_%7B%5Ctext%7Bmax%7D%7D%3D1$

然后就进行不下去了？

什么？接着你证明a>=1时原不等式恒成立？那就是赘余的步骤了！为什么，因为你是令g(x)单增得出a>=1的范围，说明a>=1这个范围内你已经保证了g(x)单增了，也就有g(x)>=g(0)=0，那么再证g(x)>=0就是重复的赘余步骤。

那么接下来究竟要干什么呢？你指望 $a%5Cgeqslant%201$ 就是最终答案，那么你就得证明该范围的"必要性"，也就是证明a<1时原不等式一定不成立！

但很遗憾，对于此题，a<1时的部分情况也能使得不等式恒成立，如a=1/2时：

这时g(x)是满足"不单增"的(也就是"g(x)单增"的对立面)，但这时g(x)却还是>=0的。

g(x)单增一定能推出g(x)>=g(0)=0，从而推出不等式成立；但g(x)不单增就意味着g(x)一定单减么？显然不一定！那么g(x)不单增就意味着g(x)一定<0么？更加没有必然联系！

也即"g(x)不单增"和"g(x)>=0"并不冲突。另一方面，正是某些人误认为"不单增"和"单减"等价，才会犯下这种很隐蔽的逻辑错误！

通过自编的这道易错题，来带大家见识了另一方面的“坑”：充分性探路失效的情况。

因此在使用探路时，务必要明确范围是保证了"充分性"还是"必要性"，从而规避犯下这种逻辑错误。一般而言，还是采用必要性探路为主。

让"必要性探路"与"分离参数法"优势互补

下面来到第二个片段，这个片段主要是融合探路法和分参法的思想，让二者优势互补，以便更精准地突破这类题。

先通过子题型的对比来说明二者的优势和劣势

让我们开启上帝视角(也就是当你是命题人时，你就会选择以下面的两种情况进行出题)

题目的通式：

$%5Cforall%20x%5Cgeqslant%200%2Cf_1(x)%2Baf_2(x)%5Cgeqslant%200%20$ ，求a的取值范围？

特点：暗含 $f_1(0)%3Df_2(0)%3D0%2Cf_2(x)%5Cgeqslant%200$

下面来到求临界点的第一步：

令g(x)=0(求零点)且g'(x)=0(保证零点处与x轴相切)，即

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%20g(x)%3D0%5C%5C%0Ag'(x)%3D0%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%0A%5CRightarrow%20%0A%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0Af_1(x)%3D-af_2(x)%5C%5C%0Af'_1(x)%3D-af'_2(x)%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

两式相比再交叉相乘(消去未知数a)得：

$%5Cboxed%7Bf_1(x)f_2'(x)%3Df_1'(x)f_2(x)%7D$

方框框柱的这个就是用于求临界点x的

如果求出来只有x=0这个根，那么就属于常规的题型(临界点在端点，也就是上篇文章中提及的23年的全国甲卷导数题)；

如果求出来不止x=0这个根，那么就属于陷阱题型(临界点在内点，也就是上篇文章中提及的20年的全国I卷导数题)。

我们先来看临界点在端点的情形，通过前面的分析，即有：

$f_1(x)f_2'(x)%3Df_1'(x)f_2(x)%5CRightarrow%20x%3D0$

如果这时我换用分参法会怎样呢？

当x=0时原不等式恒成立,a的取值范围为R

ps:不代表最终范围就是R了，因为这只是对x=0时的情况作出讨论，下面还有对x>0时的情况讨论得出第二个范围(这个取值就是R的一个子集)，最后再让这两个范围取交集才保证a的范围下对x>=0时恒成立

而实数集R与实数集的一个子集取交集，那么得到的自然就是子集。这里我已经把这些细微之处的逻辑都讲清楚了。数学的底层逻辑是缜密无暇的！

当x>0时，分参得：

$a%5Cgeqslant%20-%5Cfrac%7Bf_1(x)%7D%7Bf_2(x)%7D%20%3Dh(x)$

下面对h(x)求导讨论其单调性：

$h'(x)%3D-%5Cfrac%7Bf_1'(x)f_2(x)-f_1(x)f_2'(x)%7D%7Bf_2%5E2(x)%7D%20$

令h(x)=0求出驻点，再判断是否为极值点。也即

$h'(x)%3D0%5CRightarrow%20f_1'(x)f_2(x)%3Df_1(x)f_2'(x)$

然而由于这时第一种情况(临界点在端点)，因此当x>0时h'(x)=0上述方程时无解的。又因为初等函数连续，因此说明h'(x)是恒正或恒负的，也即说明h(x)是单调的！

既然单调，那么最值就会在端点处取得，而由于这时我们讨论的是x>0时的情况，因此"端点值"就对应h(x)在x=0处的极限值：

$%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20h(x)%3D%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%20-%5Cfrac%7Bf_1(x)%7D%7Bf_2(x)%7D$

而又由于出题特点使得 $f_1(0)%3D0%2Cf_2(0)%3D0$ ，而0/0为未定型，需要采用洛必达/泰勒展开/等价无穷小等求极限的方法求之。感兴趣的网友可以去了解一下。

ps:如果f₁'(x),f₂'(x)还是为0，就需要借助更高阶导判断，那么使用分参法时也就要多洛几次

不过讲到这里，你也同时就知道分参法的劣势了：也即对于临界点在端点的情况，使用分参法最终要通过求极限求得范围。

那么措施是什么？对症下药就行了啊，就是当求出的临界点在端点时，采用探路法而不使用分参法呗！这也就得到第一条策略。

下面讨论第二种情况(也即临界点在内点时的情况)

此时有： $f_1(x)f_2'(x)%3Df_1'(x)f_2(x)%5CRightarrow%20x%3D0~~%5Ctext%7Bor%7D%20~~x%3Dx_0$

这个x_0即内点

这种情况采用分参法又会怎样呢？

步骤同上，直接快进到：

$h'(x)%3D-%5Cfrac%7Bf_1'(x)f_2(x)-f_1(x)f_2'(x)%7D%7Bf_2%5E2(x)%7D%20$

$h'(x)%3D0%5CRightarrow%20f_1'(x)f_2(x)%3Df_1(x)f_2'(x)$

到此发现没？分参时令h'(x)=0得到的方程跟前面求临界点时的方程是一模一样的！

此时有：

$h'(x)%3D0%5CRightarrow%20f_1'(x)f_2(x)%3Df_1(x)f_2'(x)%5CRightarrow%20x%3D0~~%5Ctext%7Bor%7D%20~~x%3Dx_0$

而这个临界值x0极大可能就对应h(x)取最小值时的x值！这也就说明什么？说明第二种情况(即当临界点包含内点时)采用分参法恰好可以规避掉对端点的讨论！

因此当求出的临界点包含内点时，可采用分参法解决。这也就得到第二条策略。

换而言之，当发现临界点包含内点时，使用分参法的优势就体现了，当然这种情况继续用探路法也是没问题的。

再举回20年全国I卷之例：

探路法在前篇文章也写到了，这里就再贴一次：

那个突兀的"注意到"其实就是前面求出的临界值x=2处的探路。正是因为这种情况(临界点包含内点时)探路写在卷上显得有些突兀，因此这时可以换用分参法来求解使得阅卷者看上去更自然。

"哎呀哈！爷就是想出x=2这个点来坑你们这群只会探端点的小盆友的，结果你小子一试就把我设的临界点试出来了？是不是偷答案了拷起来！先扣2分！""(误)

上面灰字的话是我瞎编的嘻嘻，不过就是可能出现这种情况，因此才需要额外规避"注意到"太突兀的请况，这时就可以换用分参法更自然地写了

也即对于这第二种情况(临界点包含内点时的情况)，是基于应试卷面更自然的步骤进行衡量的

于是分参法的卷面步骤如下：

ps:卷面是尽可能言简意赅，这里为了读者方便理解就再对步骤中的一些小细节处理左些解释：

最开始导数整理得：

$h'(x)%3D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E3-x-2-(x-2)%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex%20%7D%7Bx%5E3%7D%20$

然后试根发现x=2，于是因式分解成：

$h'(x)%3D%5Cfrac%7B(x-2)(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20x%5E2%2Bx%2B1-%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex)%7D%7Bx%5E3%7D%20$

下面还有判断 $%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20x%5E2%2Bx%2B1-%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex$ 的正负，也即判断其跟0的大小。由于是判断正负，因此可以利用“指数找朋友”等价变形为判断 $(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20x%5E2%2Bx%2B1)%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-x%7D-1$ 的正负，这时构造函数求导就方便很多，可以自行搜索"指数找朋友，对数单身狗"这一等价变形的技法