24考研数学 睡前系列【基础篇】第19题｜单调有界必有极限
- 单调有界准则(4步)
- step1：在草稿纸上求极限(设A求A)
注意极限结果只能取一个
- step2：证明有界性
数学归纳法做不了，改用放缩的方法做
观察式子是求和的形式→想到用求和的基本不等式→有二元(各项次方数一样，即项次方数做差＝0 e.g. x为1次，1/x为1次，1-1=0，所以x和1/x直接用二元的基本不等式)的和多元(各项次方数做差≠0)的基本不等式→看式子的各项次方→1/x^3为3次，3x为1次，3-1=2≠0，1/x^3和3x不能用二元的基本不等式→想到多元基本不等式→最高次是1/x^3为3次，则3·x要看成x+x+x，保证最后用多元基本不等式时结果与x无关.→试一试发现可以用多元基本不等式
注意：一正二定三相等
- step3：求单调性
用除法，结果与1比较
单调递减有下界
- step4：利用单调有界准则推极限存在，最后把草稿纸上的极限过程再抄一遍
------------------------------------------------------------
- 单调有界准则
★四步走↓
step1：在草稿纸上求极限(设A求A)
step2：证明有界性
step3：求单调性
step4：利用单调有界准则推极限存在，最后把草稿纸上的极限过程再抄一遍
- 基本不等式
- 二元基本不等式
一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得，若忽略了某个条件，就会出现错误．
- 多元基本不等式
观察式子是求和的形式→想到用求和的基本不等式→有二元(各项次方数一样，即项次方数做差＝0 e.g. x为1次，1/x为1次，1-1=0，所以x和1/x直接用二元的基本不等式)的和多元(各项次方数做差≠0)的基本不等式→看式子的各项次方→1/x^3为3次，3x为1次，3-1=2≠0，1/x^3和3x不能用二元的基本不等式→想到多元基本不等式→最高次是1/x^3为3次，则3·x要看成x+x+x，保证最后用多元基本不等式时结果与x无关.
- 推论
- ★求基本不等式
（1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．
（2）★若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．常见的变形手段有拆、并、配.
①拆——裂项拆项
对分子的次数不低于分母次数(分子次数＞or＝分母次数)的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件．
②并——分组并项
目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值．
③配——配式子配系数
有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.
★模型
还有：式子只有一个变量的，找次方差为2的，同除x^n凑出x与1/x
注意：如果是负的要在结果前面加负号并且不等号改变方向
④“1”的妙用
题目中如果出现了两个式子之和为常数，要求这两个式子的倒数之和的最小值，通常用所求这个式子乘以1，然后把1用前面的常数表示出来，并将两个式子展开即可计算。如果题目已知两个式子倒数之和为常数，求两个式子之和的最小值，方法同上。
⑤换元法
只有一个变量，but分母太麻烦了，给他换成t去求
⑥消参数法(2个变量变成一个变量)
更不重要的变量用更重要(对结果的决定性的含量高)的变量来表示
⑦双换元
若题目中含是求两个分式(分母有点恶心)的最值问题，常用双换元法(分母分别换两个参数)
⑧齐次化
分子分母同除某个东西→得到分子分母次数相同
（3）若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致.
