张宇冲刺卷，好题分享1

关于本题的一般性结论

（审核大人ballUU，内容都写到图片里面了，传不了公式更影响观感）

Latex 版 放在下面

设$f(x)$是$[0,+\infty)$上凸函数，求证：

$$F(x)=\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)dt$$

证明:目的 将函数线性化，这样才能应用凸函数的定义(没有说是可导的)

$$F(x)=\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)dt=\int_{0}^{x}f(t)d\frac{t}{x}=\int_{0}^{1}f(ux)du ,(u=\frac{t}{x})$$

$$\forall\lambda\in(0,1),\forall x_1,x_2>0 $$ $$\begin{aligned}

 F[\lambda x_1+(1-\lambda)x_2]=\int_{0}^{1}f[u(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)]du=\int_{0}^{1}f[u\lambda x_1+u(1-\lambda)x_2]du\\\le \int_{0}^{1}[\lambda f(u x_1)+(1-\lambda)f(ux_2)]du=\lambda F(x_1)+(1-\lambda)F(x_2)

\end{aligned}$$

故$F(x)$为凸函数