《几何原本》命题1.37【夸克欧氏几何】

命题1.37：

在同底上且在相同的两条平行线之间的三角形彼此相等

已知：△ABC，△DCB，点A,点D在EF上，BC∥EF

求证：S△ABC=S△DCB

解：

过点B作BE∥AC，交EF于点E

（命题1.31）

过点C作CF∥BD，交EF于点F

（命题1.31）

证：

∵BC∥EF，BE∥AC，CF∥BD

（已知）

∴四边形ACBE，DBCF是平行四边形

（定义1.22）

∵BC公用

（已知）

∴S▱ACBE=S▱DBCF

（命题1.35）

∵AB是▱ACBE对角线

（已知）

∴S△ABC=½S▱ACBE

（命题1.34）

∵AB是▱ACBE对角线

（已知）

∴S△DCB=½S▱DBCF

（命题1.34）

∴S△ABC =S△DCB

（公理1.1）

证毕

此命题将在命题1.39＆1.41中被使

PS：此命题最后有些疏漏，此处公理应为“等量的一半相等”