复习笔记Day117:exp(A)的一种计算方法

2023-03-15 01:23 作者:间宫_卓司 0人读过 | 我要投稿

这几天帮一个物理专业的网友解决了一个简单的数学问题，我觉得还蛮有意思的，就写上来了，他的原始问题是：方程 $%5Cexp%20%5Cleft(%20X%20%5Cright)%20%3DA$ 的解，在不考虑辐角的情况下是否唯一，其中 $A$ 为 $2$ 阶矩阵， $X$ 是要求解的矩阵。这里的不考虑辐角可以认为是 $X$ 的特征值的虚部属于 $(-%5Cpi%2C%5Cpi%5D$

我把原始问题稍微修改了一下，改成了如下问题，大家在看解答之前可以先自己试着做一下

117.1假设 $A$ 的极小多项式为 $%5Cphi%20%5Cleft(%20%5Clambda%20%5Cright)%20%3D%5Cleft(%20%5Clambda%20-%5Clambda%20_1%20%5Cright)%20%5E%7Bn_1%7D%5Cleft(%20%5Clambda%20-%5Clambda%20_2%20%5Cright)%20%5E%7Bn_2%7D%5Ccdots%20%5Cleft(%20%5Clambda%20-%5Clambda%20_k%20%5Cright)%20%5E%7Bn_k%7D$

解答以下问题

(1)多项式 $p(x)%2Cq(x)$ 满足

$p%5E%7B%5Cleft(%20j%20%5Cright)%7D%5Cleft(%20%5Clambda%20_i%20%5Cright)%20%3Dq%5E%7B%5Cleft(%20j%20%5Cright)%7D%5Cleft(%20%5Clambda%20_i%20%5Cright)%20%2Ci%3D1%2C2%2C%5Ccdots%20%2Ck%2Cj%3D0%2C1%2C%5Ccdots%20n_i-1$

等价于 $p(A)%3Dq(A)$

(2)设 $A$ 是二阶矩阵，求解方程 $%5Cexp%20%5Cleft(%20X%20%5Cright)%20%3DA$

(1)设 $P%5E%7B-1%7DAP%3DJ_A$ ，其中 $J$ 为 $A$ 的若当标准型，那么属于特征值 $%5Clambda_i$ 的若当块中，大小最大的为 $n_i$ ，而 $P%5E%7B-1%7Dp%5Cleft(%20A%20%5Cright)%20P%3Dp%5Cleft(%20P%5E%7B-1%7DAP%20%5Cright)%20%3Dp%5Cleft(%20J_A%20%5Cright)%20$ ，现在对每一块若当块 $J$ ，来计算 $p(J)$ ，考虑 $p(x)$ 在 $x%3D%5Clambda$ 处的泰勒展开

$p%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3Dp%5Cleft(%20%5Clambda%20%5Cright)%20%2Bp'%5Cleft(%20%5Clambda%20%5Cright)%20%5Cleft(%20x-%5Clambda%20%5Cright)%20%2B%5Ccdots%20%2B%5Cfrac%7Bp%5E%7B%5Cleft(%20n%20%5Cright)%7D%5Cleft(%20%5Clambda%20%5Cright)%7D%7Bn!%7D%5Cleft(%20x-%5Clambda%20%5Cright)%20%5En$

其中 $%5Clambda$ 为 $J$ 的特征值，带入可得

$p%5Cleft(%20J%20%5Cright)%20%3D%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%09p%5Cleft(%20%5Clambda%20%5Cright)%26%09%09p'%5Cleft(%20%5Clambda%20%5Cright)%26%09%09%5Ccdots%26%09%09%5Ccdots%26%09%09%5Cfrac%7Bp%5E%7B%5Cleft(%20n%20%5Cright)%7D%5Cleft(%20%5Clambda%20%5Cright)%7D%7Bn!%7D%5C%5C%0A%09%26%09%09p%5Cleft(%20%5Clambda%20%5Cright)%26%09%09p'%5Cleft(%20%5Clambda%20%5Cright)%26%09%09%5Ccdots%26%09%09%5Cvdots%5C%5C%0A%09%26%09%09%26%09%09%5Cddots%26%09%09%5Cddots%26%09%09%5Cvdots%5C%5C%0A%09%26%09%09%26%09%09%26%09%09%5Cddots%26%09%09p'%5Cleft(%20%5Clambda%20%5Cright)%5C%5C%0A%09%26%09%09%26%09%09%26%09%09%26%09%09p%5Cleft(%20%5Clambda%20%5Cright)%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%5D%20%3Dq(J)$

从而 $p(A)%3Dq(A)$

(2)从第一问的证明中不难得到，要找到一个多项式 $p(A)$ 满足 $p(A)%3D%5Cexp(A)$ ，只需要

$p%5E%7B%5Cleft(%20j%20%5Cright)%7D%5Cleft(%20%5Clambda%20_i%20%5Cright)%20%3D%5Cexp%5E%7B%5Cleft(%20j%20%5Cright)%7D%5Cleft(%20%5Clambda%20_i%20%5Cright)%20%2Ci%3D1%2C2%2C%5Ccdots%20%2Ck%2Cj%3D0%2C1%2C%5Ccdots%20n_i-1$

就好了，这实际上就是一个赫米特插值问题，而赫米特插值问题是适定的，也就是说赫米特插值的解是存在唯一的，接下来设 $A$ 有两个特征值 $%5Clambda_1%2C%5Clambda_2$ （可以相同），那么根据 $A$ 的情况，计算可得如下结果

1.若 $A$ 有两个相同的特征值 $%5Clambda_1%3D%5Clambda_2%3D%5Clambda$ ，且 $A$ 可对角化，此时 $X$ 也有两个相同的特征值 $%5Cln%5Clambda$ ，且 $X$ 可对角化，此时 $X%3D%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%09%5Cln%20%5Clambda%26%09%09%5C%5C%0A%09%26%09%09%5Cln%20%5Clambda%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%5D%20$

2.若 $A$ 有两个不同的特征值 $%5Clambda_1%2C%5Clambda_2$ ，则 $X$ 也有两个不同的特征值 $%5Cln%20%5Clambda%20_1%2C%5Cln%20%5Clambda%20_2$ ，通过赫米特插值可以解得

$X%3D%5Cfrac%7B%5Cln%20%5Clambda%20_1-%5Cln%20%5Clambda%20_2%7D%7B%5Clambda%20_1-%5Clambda%20_2%7D%5Cleft(%20A-%5Cfrac%7B%5Clambda%20_2%5Cln%20%5Clambda%20_1-%5Clambda%20_1%5Cln%20%5Clambda%20_2%7D%7B%5Cln%20%5Clambda%20_1-%5Cln%20%5Clambda%20_2%7DI%20%5Cright)%20$