一道数论

2023-08-20 01:53 作者:自函子 0人读过 | 我要投稿

设 $%20p$ 为素数, $%20f(x)%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BZ%7D%5Bx%5D%2C%20%5C%2C%5C%2C%5Ctext%7B.s.t%7D%20%5C%2C%5C%2C%20%5Cdeg%20f%20%5Clt%20p-1$ , 证明: $p%5Cmid%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7Bp-1%7Df(n)%0A$ .

证明: 取正整数 $d%20%5Clt%20p-1$ . 令 $%5Cdisplaystyle%20f(x)%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5Ed%20a_k%20x%5Ek$ .

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7Bp-1%7Df(n)%26%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7Bp-1%7D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5Ed%20a_k%20n%5Ek%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5Ed%20a_k%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7Bp-1%7D%20n%5Ek%5C%5C%0A%20%20%20%20%5Cend%7Balign%7D%5C%5C$

由 $a_k$ 任意性, 需证明 $%5Cdisplaystyle%20%20p%20%5Cmid%20%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7Bp-1%7D%20n%5Ek$ . 由于 $p$ 为素数, 故存在整数 $m$ 使得 $%20p%20%5Cnmid%20m%5Ek%20-%201%20%20$ . $m%20%0A$ 作用于整环 $%5Cmathbb%7BZ%7D%2Fp%5Cmathbb%7BZ%7D$ 得到一个置换.

$m%3A%20%5Cmathbb%7BZ%7D%2Fp%5Cmathbb%7BZ%7D%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BZ%7D%2Fp%5Cmathbb%7BZ%7D%5C%5C%0A%20%20%20%20n%5Ek%20%5Cmapsto%20(m%20%5Ccdot%20n)%5Ek%20%3D%20(n_2)%5Ek%2C%5Cquad%20n_2%20%5Cne%20n%20%5C%5C$

故

$%20m%5Ek%20%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5Ek%20n%5Ek%20%20%5Cequiv%20%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7Bp-1%7Dn%5Ek%20%5Cpmod%20p%20%2C%5C%2C%20p%20%5Cnmid%20m%5Ek-1%5C%5C%0A%20%20%20%20%5Cimplies%20%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7Bp-1%7Dn%5Ek%20%5Cequiv%200%20%5Cpmod%20p%20$

标签：

一道数论的评论 (共条)

自函子
发短消息
关注TA

一道数论

一道数论的评论 (共条)

你可能也喜欢这些文章

最新发布的文章

一道数论

本文作者的其他文章

一道数论的评论 (共 条)

你可能也喜欢这些文章

最新发布的文章

一道数论的评论 (共条)