学不明白的数学分析（五十七）

好消息：反常积分结束了！

坏消息：含参变量积分开始了……

是的，就如我们之前所说的一样，在结束反常积分的部分之后，我们没有按照参考教材的顺序，去介绍Fourier级数的内容，而是为了保证连贯性，选择直接跟上含参变量积分的部分，最后再利用已经掌握的各种知识，集中分析有关Fourier级数的部分。

那么，我们就开始吧！

Chapter  Eighteen  含参变量积分

18.1  含参变量的常义积分

对于一般的函数而言，其积分的结果是很明确的（能不能一般可求暂且不说）。但是，如果函数本身不是被自变量唯一确定的，而是有一个参数来参与决定函数本身，那么，对于这样的含参变量的函数，其积分结果就不一定再唯一了，很有可能是关于参数的一个函数。这个时候，我们可以将参数视作函数的另一个变量，即：

其中，二元函数在闭矩形：

上满足一定的性质，为相对于一元函数而言的参数。

这样，有二重积分的基本知识，我们就不难理解，此时对自变量x进行积分，得到的其实是一个关于参数的函数：

（这实际上也就是累次积分的第一层。）

我们将这样的由一层积分得到的关于参数的函数，称为函数含参变量u的常义积分。

对应地，如果上述积分关于自变量为反常积分，就称之为含参变量反常积分。

为了让大家更好理解含参变量积分，我们将其与函数项级数作类比。事实上，我们知道，所谓函数项级数，就是：

实际上，函数项级数就是以x为参数的函数，以n为求和变量（类比于积分变量）的一种离散求和（类比于连续求和，即积分）。在二者之间，x对应于u，n对应于x。

接下来，我们就要开始研究，含参变量常义积分的分析性质了。首先，我们要问的就是，在什么条件下，含参变量常义积分是连续的？

按照连续的定义，我们就是要考虑，二元函数满足什么条件时，有：

（其中，为任意一点。）

我们做一些简单的推导：

基于此，我们就能知道，如果二元函数在任意固定x时，关于参数u连续，那么显然就能够得到含参变量常义积分连续。但是，这一条件不方便判断与利用，我们可以牺牲一定的判定范围，来换取一个好的判定条件。（当然，就这一条件而言，其实也不是一个必要的条件，仅仅是保证了充分性罢了。）比如说：

二元函数在闭矩形：

上连续，则含参变量常义积分：

在区间上连续，即：

（极限与积分可以交换次序）

因为：

所以这一结论是显然的。

接下来，我们要考虑有关含参变量常义积分的微分性质。我们知道，对于一元函数而言，可微与可导的操作是一致的。因此，我们实际上只需要讨论：

是否存在且有限的问题。

还是一样，我们做一些简单的推导：

又因为此时：

所以，如果此时二元函数的偏导数在区间上存在且连续，则就有：

我们也强化一下条件，以便我们使用：

如果二元函数在闭矩形：

上连续，且也连续，则含参变量常义积分：

在区间上可微，且有：

至于含参变量常义积分的可积性质，如果我们完全将含参变量函数看做是二元函数，那么由二重积分的理论，我们很容易想到：

那么我们下一步要考虑的，就是如何保证可积性。显然，保证连续是能够做到这一点的。而综合上面有关连续性和可微性的讨论结果，这一条件是我们能够接受的。因此，就有：

如果二元函数在闭矩形：

上连续，则含参变量常义积分：

在区间上可积，且有：

严格证明留给大家。（定理1）

（如果采用上述思路，只需要证明连续能够保证重积分和累次积分都能存在即可；如果换一种思路，就需要利用含参变量常义积分的连续性定理与可微性定理。）

讨论完矩形区域上的含参变量常义积分，考虑到重积分的部分的顺序，我们接下来可以讨论一下一般有界集合上的含参变量常义积分，也即：

按照顺序，我们还是讨论连续、可微以及可积的性质。但是，实际上，在二重积分部分，我们已经将二维有界集合上的重积分有关的内容已经讨论过了，这里只不过是将很多条件加强了，牺牲了一定的判定范围，因此我们不再仔细讨论了。

对于这一含参变量常义积分，如果想要保证其连续，我们还是假定所涉及到的各个函数都是连续的，那么就有：

这里：

均是连续函数；

于是，我们就知道，是连续的。

完整地叙述一遍，就是这样的结论：

设均是对应定义集合上的连续函数，其中：

更进一步，我们让在：

上连续，则：

在上连续。

最后我们给出的可微性质：

设和都在闭矩形：

上连续，且均在上可微，则：

在上可微，且有：

（定理2）

思考：

1. 证明定理1；

2. 证明定理2；

3. 计算：

   （1）

   

   （2）

   

   （3）

   
   

4. 求，其中：

   

5. 证明：设分别二阶可导和一阶可导，则：

   

   满足：

   

6. 证明：对任意，有：

   

最後の最後に、ありがとうございました！