【高等数学第6讲】无穷小的比较及等价无穷小代换

第六章 无穷小的比较

一、知识点

1. 两个无穷小的和、差、积都是无穷小；商不一定
2. 无穷小比阶：（注：下面的定义中，α和β都是x在同一变化过程中的无穷小）
   

   04:24

   
3. 等价无穷小代换：
   

   14:17

   
4. 未定式：
   

   15:21

   
   （0/0, ∞/∞...那7个）
5. 理论基础：
6. β~α等价于β=α+o(α)
7. 设α~α1，β~β1且lim (β1/α1)存在，则lim(β/α)=lim (β1/α1)
8. 常用的等价无穷小：
   

   22:27

   
9. x的一阶无穷小的两两之差都是三阶无穷小（不过系数有差别），和还是一阶无穷小记忆：
   

   25:30

   
10. x-sinx
11. arcsinx-x
12. tanx-x
13. x-arctanx
14. x-ln(1+x)
15. 其他常用的那几个 记忆：
    

    27:56

    
16. 推论记忆：
    

    33:32

    
17. 代换原则：
    

    35:31

    
18. 乘除因子直接换
19. 加减满足原则后再换
20. 上下同阶原则，比泰勒妙
21. 见图1
    

    50:36

    
    ，感觉这个直接用泰勒也行。

图1：

二、证明（注：下面的定义中，α和β都是x在同一变化过程中的无穷小）

1. 证明“β~α等价于β=α+o(α)” ：
   

   16:31

   
2. 证明“设α~α1，β~β1且lim (β1/α1)存在，则lim(β/α)=lim (β1/α1) ” ：
   

   20:20

   
3. 证明常用的等价无穷小：
   

   25:35

   
4. 证明有指数的式子，考虑用e^(lnx)构造
5. 推论证明：
   

   33:32

   
6. 证明加减代换原则的第二条：
   

   50:30

   

三、计算

1. 一道利用上下同阶原则，以及x的一阶无穷小之差推论做的妙题：
   

   41:38

   
2. 听了题1，第一次做题2，错。还是没有体会好上下同阶原则：
   

   46:38

   
3. 使用加减代换原则的第二条做的计算：
   

   53:09

   
4. 

   01:03:12

   
5. 解法1：提e的arcsinx次方，凑无穷小。arctanx-arcsinx可用泰勒
6. 解法2：两项相减，都是e的次方形式，考虑用拉格朗日中值定理
7. 注意谁减谁
8. 推论见图2
9. 幂指函数，取指又取对，化成e^x形式：
   

   01:06:35

   
10. 

    01:12:38

    
11. 法1：上下同阶原则
12. 法2：加一减一，善于凑配，凑出无穷小

图2：