用多边形滚动逼近计算摆线长(绕远路系列)

此探索源于一道初中题：

如图：

边长为2的正方形置于地面，将正方形向前滚动一周，求点A运动的轨迹总长度？

这道题本不难，先定性分析，则A先以为圆心，为半径转过90°；

再以为圆心，为半径转过90°；

然后以为圆心，为半径转过90°；

最后还要再滚一个90°正方形才算滚完一周，只不过最后一次A点的位置没有变；

综上，总长度为

等等...这个轨迹怎么跟那啥有些像？

嗯，于是联想到摆线

可是摆线那是圆上的一点呀？这可咋整捏？

于是我灵光一现！利用多边形逼近可以试试！

考虑一个外接圆半径为的正n边形，考虑其中一顶点A在滚动一周时转过的总弧长

在滚动过程中，容易发现：

(1)对于每段圆弧，圆心均是此时位于底边右端的那个点，每次滚过的角均为多边形的外角，

因此

(2)以正n边形轮廓为参考，滚完一周，A恰好相当于沿着正n边形各个顶点"跳"了一轮

因此，半径就等于从一个点出发向各个顶点引出的线段之和！

考虑在平面直角坐标系中构造圆，圆周上均匀分布着点：

选其中一点向各个顶点引出线段，则其各段表达式为：

ps:由于i=1,2,...,n，则，故最后一步可脱去绝对值

于是

我们需要求出后面那个数列的前n项和，考虑将其裂项！

啥？三角数列也能裂项？

是的，我们由和差化积公式：

于是

即

与原式待定系数，有：

即

求和得：

于是

这便是滚过一周总路径长的表达式

验证：以原题为例外接圆半径

上式命n=4得：

ps:，可以用正切半角公式求，也可以用如下的几何法：

延长等腰直角三角形一边，延长长度等于斜边长，然后等边对等角得到22.5°，再用大的直角三角形可得其正切值

当n无限大时，正n边形会趋近于圆，因此考虑取极限

换元，令,

最后这个极限可以用洛必达or泰勒展开求之，但有没有门槛低些的求法呢？有！

其中可视为正切函数上一点与原点连线(割线)的斜率

当时，斜率就趋近于在(0,0)处的切线斜率，据导数定义，有

取倒数得：

于是

这与用积分算出的结果是一样的！

ps:用定义推导摆线方程以及用积分计算的方法参考专栏：美丽的摆线及其数学原理

以下是用desmos模拟的轨迹图：

红线为摆线的确切轨迹，蓝线为多边形滚动一周的轨迹

由此可见时蓝色轨迹就拟合于摆线！

ps:上述过程不知有无循环论证的嫌疑，若有大佬发现烦请指正。有一点值得肯定，即数学知识间的联系是如此地美妙！数学——人类智慧的结晶！