MIMO 检测中 zero forcing 算法的思想

MIMO 检测算法中， Zero Forcing 算法在很多书中是直接给出了计算公式的，本文试图从其最初始的思考点出发，来看一下这个算法背后的思想。
（录制的视频在：https://www.bilibili.com/video/BV1Eh41137JX/）


假设 MIMO 信道 模型为：

其中 H 为信道系数矩阵，是已知的（假设已经被准确地做了信道估计），Y 是接收到的信号，n 是高斯白噪声。



那么 Maximum Likelihood(ML) 算法是最优的检测，这个最优指的是使错误率最低（假定发送的 x 是等概率出现的），从最低错误率的角度出发，同时假定在每个天线处的高斯白噪声是独立同分布的，那么，这个 ML 算法的公式为：

遍历 X 的所有可能取值，找到是公式 (1) 最小的。



因为公式 (1) 的计算量非常大，在实际中是不可行的。那么对公式  (1) 放开条件，让 X 的取值，不仅限于星座图中的值，而是任何值，那么，这个就是 zero forcing(ZF) 算法的出发点，则公式 (1) 就变成：

注意 argmin 的下表中的 X ，没有做任何限制。公式 (2) 就是一个无约束的最优化问题，我们令：

接下来对公式 (3) 做进一步的推导（我们约定所有的向量都是列向量）：

把公式 (4) 对 X 求导，公式 (4) 实际上是一个数，X 是一个向量，这个求导的过程，实际上就是对 (4) 用 X 的每个分量分别求一次导数并令其等于 0，得到 N ( 假如  X 是 N 维的列向量) 个方程，联合起来可以求解出 X 的每个分量。用矩阵形式来写就是：

则

进一步推导

最后：

如果 H 是方阵且 可逆，公式 (5) 可以写成：

这样得出的值，就是检测后的估计值，即用 Zero Forcing 算法估计出来的值，我们写成：

或者简化后的（H 是方阵且可逆的情况下）：


然后，再做解调检测

后续思考： Zero Forcing 算法比 Maximum Likelihood 算法性能差的原因是啥？