正常计算即可（2018课标Ⅱ圆锥曲线）

2022-08-24 18:22 作者:数学老顽童 0人读过 | 我要投稿

（2018课标Ⅱ，19）设抛物线 $C$ ： $y%5E2%3D4x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 且斜率为 $k$ （ $k%3E0$ ）的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点， $%5Cleft%7C%20AB%20%5Cright%7C%3D8$ .

（1）求 $l$ 的方程；

（2）求过点 $A$ 、 $B$ 且与 $C$ 的准线相切的圆的方程.

解：（1）易知 $F$ 的坐标为 $%5Cleft(%201%2C0%20%5Cright)%20$ ，

故 $l$ 的方程为 $y%3Dk%5Cleft(%20x-1%20%5Cright)%20$ ，

与 $C$ 联立，得

$k%5E2x%5E2-%5Cleft(%202k%5E2%2B4%20%5Cright)%20x%2Bk%5E2%3D0$ ，

所以 $x_1%2Bx_2%3D%5Cfrac%7B2k%5E2%2B4%7D%7Bk%5E2%7D$ ，所以

$%5Cleft%7C%20AB%20%5Cright%7C%3Dx_1%2Bx_2%2Bp%3D%5Cfrac%7B2k%5E2%2B4%7D%7Bk%5E2%7D%2B2%3D8$ ，

解得 $k%3D1$ ，

所以直线 $l$ 的方程为 $y%3D1%5Ccdot%20%5Cleft(%20x-1%20%5Cright)%20$ ，

即 $y%3Dx-1$ .

（2）先画图

设 $A$ 、 $B$ 的中点为 $M%5Cleft(%20x_0%2Cy_0%20%5Cright)%20$ ，

由（1）知 $x_1%2Bx_2%3D%5Cfrac%7B2%5Ctimes%201%5E2%2B4%7D%7B1%5E2%7D%3D6$ ，

故 $x_0%3D%5Cfrac%7Bx_1%2Bx_2%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B6%7D%7B2%7D%3D3$ ，

故 $y_0%3Dx_0-1%3D3-1%3D2$ ，

故 $M$ 的坐标为 $%5Cleft(%203%2C2%20%5Cright)%20$ .

故线段 $AB$ 的中垂线方程为

$y-2%3D-1%5Ccdot%20%5Cleft(%20x-3%20%5Cright)%20$ ，

即 $y%3D5-x$ .

易知所求圆的圆心 $P%5Cleft(%20m%2Cn%20%5Cright)%20$

即在直线 $y%3D5-x$ 上，

所以 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bn%3D5-m%7D$ …… $%5Coplus%20$

设所求圆与 $C$ 的准线相切于 $H$ ，

则 $%5Cleft%7C%20PA%20%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C%20PH%20%5Cright%7C$ ，

即 $%5Cleft%7C%20PA%20%5Cright%7C%5E2%3D%5Cleft%7C%20P%0AH%20%5Cright%7C%5E2$ ，

即 $%5Cleft%7C%20PM%20%5Cright%7C%5E2%2B%5Cleft%7C%20MA%20%5Cright%7C%5E2%3D%5Cleft%7C%20PH%20%5Cright%7C%5E2$ ，即

$%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%20m-3%20%5Cright)%20%5E2%2B%5Cleft(%20n-2%20%5Cright)%20%5E2%2B4%5E2%3D%5Cleft%7C%20m-%5Cleft(%20-1%20%5Cright)%20%5Cright%7C%5E2%7D$

…… $%5Cotimes%20$

联立 $%5Coplus%20$ 、 $%5Cotimes%20$ ，解得 $%5Cbegin%7Bcases%7D%09m%3D3%5C%5C%09n%3D2%5C%5C%5Cend%7Bcases%7D$ 或 $%5Cbegin%7Bcases%7D%09m%3D11%5C%5C%09n%3D-6%5C%5C%5Cend%7Bcases%7D$ ，