参数方程

2023-08-05 22:55 作者:666chaoyue 0人读过 | 我要投稿

7.1 曲线的参数方程

我们先从一个例子入手，相信大家在物理上都学过。

在某处发射炮弹，初速为v0，发射角为α，求炮弹运动的轨道方程（此处我们略去空气阻力不计）。

解：设发射点O为坐标原点。过点 O 的水平线为x 轴，y 轴方向垂直向上。建立直角坐标系

根据运动学，初速度v0可分解为

水平方向分速vx= v0cosα;

垂直方向分速vy= v0sinα。

假如没有地球引力的作用，那么经过时刻t,炮弹将作匀速直线运动到达T点，OT=v0t.。但事实上炮弹受到地心引力的作用，到达点 P 的位置。不妨设点 P的标为(x，y)。可见这时要直接得出x和y之间的相依关系是有些困难，但却易分别找出 x、y 对时间t的依赖关系。

在不计空气阻力的情况下，在时刻t，点 P的横坐标是以v0cosα为初速度的匀速直线运动的距离；纵坐标是以 v0sinα为初速度的上抛运动的距离，即

x=(v0cosα)t

y=(v0sinα)t-1/2gt^2(0≤t≤t*) ......(1)

其中g为重力加速度，t*表示炮弹回到地面的时时刻,如果要求出t*,只须在（1）的第二式中令y=0,得t=0及t=2v0sinα/g，它们分别是炮弹运动的开始财刻和回到地面的时刻,因此t*=2v)sina/g

这个例子告诉我们:对每一个时刻:(0≤t≤t*),由(1)就可得到x和y的一组对应值，也就是炮弹在时刻t的位置,即运动轨道上的一个点P.当t从0连续变到t*,动点 P就描出运动轨道OA;反过来,运动轨道上的任意一P(x,y)是炮弹在某一时刻的位置,因而一定能由点 P(x,y)通过(I)而得到某一个值t1，因此(1)就是炮弹运动轨迹方程.我们把(1)中的第三个变量叫做参变数，简称为参数,称(1)为炮弹(或抛射体)运动轨道的参数方程.而把坐标方程叫做普通方程。

如果从(1)中的第一式解出 t,代人第二式,得

y = xtana-g/(2v0^2cos^2a)x^2(0≤x≤x*) ......(2)

这就是炮弹运动轨道在直角坐标系下的普通方程.由此可见,它表示抛物线的一段弧OA.这里的工*可由t=t”得出,即x*=v0^2sin2a/g.因此(1)是抛物线弧OA的参数方程.

(1)和(2)是同一个炮弹运动轨道的两种不同的数学表现形式.但各有其特点,如要求炮弹在时刻:的位置,用方程(2)就不方便,而应用方程(1),既明了求解又简捷,但从(1)不易看出运动轨道是抛物线,而从(2)就容易看出这一点.

曲线的参数方程与曲线的直角坐标方程之间具有密切的关系。它们在一定条件下可以互相转化，这里的一定条件就是寻求适当的方法消去参数或引进适当的参数。下面通过举例来进行讨论。

已知参数方程,求普通方程关键在于消去参数.消去参数的通常方法:代人消去法和应用三角恒等式

下面我们来看一道题感受一下

例1 将下列参数方程化为普通方程