阿基米德如何求得抛物线弓形面积
首先需要三个引理。
第一，F点为抛物线焦点，A点为抛物线P点到准线的垂足，则抛物线P点处的切线为∠FPA的角平分线。由抛物线的定义，PF=PA，可知切线垂直于FA，即切线也可表述为过P点做的FA的垂线PB。可以用反证法证明，若PB不是切线，则与抛物线有两个交点P1、P2，即PB既是∠FP1A1的角平分线，又是∠FP2A2的角平分线，但∠FP1A1≠∠FP2A2，矛盾。
椭圆和双曲线也有类似的性质。
第二，过抛物线弦AB的中点M做对称轴的平行线、交抛物线于点M'，则抛物线M'点处的切线平行于AB。用解析几何很容易证明，至于阿基米德时代，欧几里得的《几何原本》、其学生阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》已经将平面几何发展到极致，可以用线段、比例、相似等平面几何方法证明。
第三，过抛物线弦AB的中点M做对称轴的平行线，过点A、点B做抛物线的切线，则这三条线交于一点S。很容易证明S点为图中粉色三角形的外心。这条引理等价为，过抛物线弦AB两个端点的两条切线交于一点S，过点S做对称轴的平行线交AB于点M，则点M为AB的中点。ΔSAB称为阿基米德三角形。
有了上述引理，就可以用平面几何方法计算抛物线与弦AB围成的弓形面积了。
按照此穷竭法操作，一直到极限，可知抛物线将阿基米德三角形SAB分成两份，面积比为1:2。也可以表述为，弓形面积为阿基米德三角形SAB面积的2/3，或者为ΔM'AB面积的4/3。
虽然用微积分可以快速解得弓形面积，但阿基米德等人的贡献不可磨灭，数学不仅仅是计算技巧，更重要的是思想和逻辑。
