浅谈Green函数
置顶: 这不是一篇面向广大群众(特指初步接触微积分的高中生)的科普文
Green函数是一个在数理方程中非常实wu用nao的工具, 对于给出条件的微分方程, 只需要求得一个特殊的基本解就可以求出任意解, 在计算机模拟和求解含时或不含时方程都有很大的作用
那么就来了解一下怎么使用这个工具吧
前提: 本篇讨论的函数都是具有一阶求导(或偏导)的连续函数, 并且本篇不会过于详细地讨论适用范围和细节, 想要深入学习的可以去自行购买一本<<数理方程>>
对于一般的数理问题, 可以笼统地归纳为 "初值条件在系统和边界条件下, 随时间演化或求定解"
Green函数法成立的最基本的原理为: 在系统和边界条件下, 有不止一个的特殊解, 那么通常解则为特殊解的线性组合, 换句话说, 有许多方程{P0, P1, P2, ...}都符合系统条件, 那么P = a0P0+a1P1+a2P2+...也符合系统条件 (a0, a1, a2不于方程变量有关)
那么Green函数法的思路为: 已知在空间内存在系统条件, 在空间的边界上存在边界条件, 在空间和边界上的每一点M, 求出当M这一点强度为1时的特解, 得到一簇与M有关的特解, 这簇特解在特定加权下相加与初值条件相同, 那么就求得了目标解, 而与M有关的特解就叫做基本解 (以上为不含数学符号的表达方法, 看不懂的可以直接去看示例)
那么Green函数法的思路为: 假设空间D和其边界∂D上存在条件, 对D+∂D内任意一点M0求得基本解G(r;M0), 那么目标解可以使用基本解表达
示例: 无限弦振动 (推荐动动脑子, 拿出草稿纸, 不要看到公式就说看不懂)
一维无限弦振动可以表示为: (x为弦的坐标, u为弦偏离平衡点的位移, t为时间)
上面一条式子是系统条件, 并且因为是无限弦, 所以没有边界条件; 下面一条式子是初值条件,
这些式子的物理意义为: 弦上的一点会受到左右两边的拉扯, 并且受到是合力为左右两边的和
而下面的初值条件表示, 在t=0时, 弦的位置为f(x), 而这时的速度为g(x)
而上述问题可以拆分为两个问题:
这两个可以分别求得基本解, 而求基本解即为求以下问题:
左边的问题为: 在高度为0的弦上, 只有M0这一点有高度为1的点, 且弦的初速度处处为0, 求这个弦的演化
而右边的问题为: 在高度处处为0的弦上, 初速度只有M0点为1, 其他地方为0, 求这个弦的演化
desmos的模拟: desmos.com/calculator/8yi47dfizr (网站)
于是求得两个基本解:
那么最开始问题的系统条件的通解可以表达为:
而为了求得符合给定初值条件的解, 可以得到:
把u1和u2代入上式后, 并且利用:
求得的结果是与行波法求得的一样的
对于高维的Green函数法, 还需要注意相应的Green公式, 并且有部分问题解不出基本解,
总之Green函数是一个用途非常广泛的工具, 并且很多需要注意的方面, 一篇专栏是肯定装不下的
⑧说了, 去ff14摸鱼了, 顺便丢一个通用Green函数的公式
