当代数学哲学导论（7）：直觉主义
之前的时候发了一个动态，问问大家觉得布劳威尔为什么会走上直觉主义道路，然而并没有人回我（啊这）。作为直播的时候可能要讲的东西，先写一个大概的稿子放在这吧，也和之前的数学哲学系列连在一起了。
直觉主义的起源是康托（Cantor）。集大成者是布劳威尔（Brouwer），它的其它支持者还有博雷尔（Borel）、庞加莱（Poincare）和勒贝格（Lebsgue）等人。不过因为其他人并没有展现出明显的直觉主义倾向（换句话说就是他们更想去研究数学，而不是数学哲学），所以我们一般认为，直觉主义的创始人和代表人物都是布劳威尔。到了现代，直觉主义获得了更多分析哲学上的支持，如达米特（Dummit，我不知道这个拼写对不对），得到了进一步的发展。反而是直觉主义的发源地：数学，人们将它的核心思想纳入到了布尔巴基（Bourbaki）的结构主义中，现在已经基本上没有数学家会秉持直觉主义的思想了。
如果你是一个大一的学生，你肯定会对上面的不少人感到亲切，他们的名字在分析学中有着重要的地位。在数学分析中，康托的集合论、海涅-博雷尔原理、黎曼积分的勒贝格准则，都是我们熟悉的内容。除此之外，进一步的布劳威尔区域不变性、布劳威尔不动点原理、勒贝格积分等等，都是分析自然延伸的内容。甚至集合论也是这样。康托之所以要创立集合论，正是因为他在研究傅里叶级数时发现了一系列问题。
直觉主义的诞生与分析学密不可分。我们回到之前对于无穷的话题。如果说无穷小的鬼魂缠绕着牛顿、莱布尼兹创造的微积分，那么与无穷小对应的，无穷大的鬼魂同样缠绕在致力于将其完善的数学分析上。
什么是无穷大？与无穷小类似，我们同样有两个观点。一种观点是亚里士多德的“潜无穷”的观点。用亚里士多德的话说，“无限就像地平线，它是我们为了便于理解而使用的不存在的东西。我们用这个概念来代替‘无边界’。如果某物有可能增长到超过预定的大小，我们就说它会永远持续下去。”简而言之，无限是一种过程、是一种不可能在有限的时间或空间内达到的过程。
事实上，“潜无穷”的概念被许多思想家广泛接受至今。事实上这也是我们一般人所理解的无穷。但是数学分析的研究很快给了我们当头一棒。康托在研究傅里叶级数的逐点收敛性时指出，我们必须要比较有理数和实数两者的无穷性，才能得出答案。
如果我们把无穷视为“潜无穷”，那么我们就会立即发现康托的问题其实是没有意义的。无穷是一个过程，两个过程之间如何比较大小呢？这显然做不到。因此，康托致力于创造一种“实无穷”的概念。我们更多地把无穷视为一种客观存在的数学对象。对于一个实在的对象，我们当然可以尝试去表现它们的大小。
康托的观点一经提出，马上就遭到激烈的反对。原因与我们之前所谈的“无穷小的幽灵”有关。我们之前说过，无穷小之所以会引发第二次数学危机，其中一个原因就是把无穷小视为了一种数学对象，由此引发了无穷小究竟是不是0的问题。而接下来一百余年，数学家们努力地通过极限的方式，将无穷小变为了一个过程，由此才真正解决了第二次数学危机。康托现在又想开历史的倒车，把无穷大由过程重新变为对象，这不是极其荒谬的吗？
作为补充，我们顺便再列举几个人名。支持实无穷的观点最早可以追溯到柏拉图，不过他的观点很快遭到否定。直到康托的老师克罗内克开始才逐渐复兴。而支持潜无穷的观点起源是亚里士多德，后来包括高斯在内的多位数学大师都普遍支持这一观点。
让我们暂时跳到另一个话题。在当时还出现了一个普遍的现象，即反证法的广泛使用，使得非构造性证明在数学界开始泛滥。这种泛滥在当时或许没有今天这么严重，但是我们可以举几个例子。
布劳威尔不动点定理。大家可以看看我的上条动态。在证明全过程中，布劳威尔将不动点定理的证明分为了三个步骤，其中每一个步骤都在使用反证法！如果包括最后的完整讨论，那么布劳威尔就在一个问题的证明中使用了五次反证法。
布劳威尔区域不变性。布劳威尔在利用自己证明的不动点定理的基础上，再次使用了一次反证法，证明了区域不变性。
康托定理。康托在使用波尔扎诺-魏尔斯特拉斯原理后，使用了一次反证法，证明了紧集上的连续函数必然一致连续。
从现在的观点来看这些并没有什么什么大不了的。但是布劳威尔经过仔细研究后认为，反证法的成立性与无穷的看法有着密切关系。
我们考虑下面一个问题。考虑自然对数e，考虑数列“123456789”，如果这个数列在e中出现了无限多次，那么我们定义数d是1，如果这个数列在e中不出现、或者仅仅出现了有限多次，那么我们定义数d是0。按照经典的观点，数d要么是0，要么是1，当然是存在且确定的。
但是布劳威尔认为，d是不存在的。原因很简单。首先，我们可以证明d不是0（这个可能需要一些高超的数论知识），其次，我们也没有办法证明它是1。因为e是一个无限不循环小数，我们不能精确地写出它的每一位，所以我们无法把这个数列出现的位置一一确定。
下面我们回到经典的逻辑。假如有个数学家试图证明A和B必有一个成立，他只需要证明A和B都不成立是不可能的（这一步使用了反证法），也就意味着，只需证明A、B都不成立的情况下，必然有矛盾出现。然后我们构造一个A不成立的例子，再构造一个B不成立的例子，然后假设上述例子均成立，那么找到一个矛盾即可。
布劳威尔对此感到很不满，因为这个证明并没有给出任何关于A和B应该是啥样的信息，换句话说这个证明并没有给出A和B的实例，所以它不是构造性的，你不能按照这个证明的思路去搞点什么实例出来。于是布劳威尔开始思考怎样才能让上面的证明思路不成立，想来想去只能把排中律否定掉，就是禁止使用取反结构那一步。这样一来想证A和B必有一个成立就只能给出A的例子或者B的例子了。布劳威尔很开心。
这就是布劳威尔的直觉主义观点。布劳威尔认为，自然数是最简单的数学对象（其实这个观点大多数人都是赞同的），人们可以想象1，可以想象2，可以想象3,4,5等等，但是，当人们试图想象自然数全体时，我们不能自然而然地把上述观念推广到自然数。每一个自然数都是可以想象的，但是自然数全体是不可想象的，就此否决了实无穷的观点，转而承认潜无穷的观点。
同时，在上面的那个e的例子中，我们根本无法用有限的时间找出数列“123456789”的各个位置，因而数d是不存在的，就此否定了排中律。
直觉主义者认为，数学的对象只有在有限步内可以达到，才能称为是存在的。自然数全体、实数全体，都无法在有限的步骤内达到，所以统统无法考虑。
我们这里略微提醒一下，直觉主义者并不是否定反证法和排中律，而是认为每次使用反证法和排中律时，都要谨慎考虑其中的过程。反证法和排中律可能是成立的，也可能是不成立的。
最后我们说说直觉主义的命运。希尔伯特对直觉主义进行了严厉的批判。他指出：“不让数学家使用反证法，就好像不让天文学家使用望远镜一样。”而布劳威尔为了证明直觉主义的正确性，他重新审视了整个数学体系，将已知的数学领域全部用不使用排中律的方法进行了完善和讨论。布劳威尔最知名的、不使用反证法的成就，是我们的第三个例子。布劳威尔成功地在不使用反证法的基础上，证明了闭区间上的连续函数一定是一致连续的。这一点曾经是诸多数学家反驳布劳威尔直觉主义的论点，不过布劳威尔成功地将其证明。
直觉主义在现代的没落，其实有两个方面的原因。一方面，直觉主义太“反直觉”，使得很多数学家难以接受；另一方面，直觉主义的对手——原本是逻辑主义和形式主义——变为了更加完善的结构主义。结构主义充分吸纳了三派的观点，成为了统治数学哲学至今的数学思想。然而，与它们不同的是，直觉主义其实正以另一种方式，存在于当代的数学哲学之中，这便是在当代悄然升起的计算机构造主义。
