毕达哥拉斯学派的比例论，欧多克索斯的比例论

牛顿262、毕达哥拉斯学派的比例论，欧多克索斯的比例论

 

2019-11-26 10:31，网友“钥匙玩校”发表一篇名为《穷竭法的首创者——欧多克索斯》的文章。

…穷、竭、穷竭，法，穷竭法：见《牛顿245》…

…欧多克索斯：见《牛顿251~259》…

文章内容：…

 

比例论

…比、例、比例：见《欧几里得29》…

（…《欧几里得》：小说名…）

…论：见《欧几里得3》…

 

在数学中，一个等比关系（proportion）指的是两个比例的相等关系，记为

…数、学、数学：见《欧几里得49》…

…关、系、关系：见《欧几里得75》…

 

比例论是研究比例与等比关系的理论。

…研、究、研究：见《欧几里得42》…

…理、论、理论：见《欧几里得5》…

 

毕达哥拉斯学派的比例论

…毕达哥拉斯：见《欧几里得130》…

…毕达哥拉斯学派：见《欧几里得142~147》…

 

毕达哥拉斯学派发现了不可通约数（无理数）√2，这破坏了他们的比例论：

…通约：通分，约分，简称“通约”…见《欧几里得107》…

…无、理、无理数：见《欧几里得27》…

如果两个物体的比例是相同的，以数学式来表示，是一个等比关系a：b=c：d。其中，a、b、c、d是正整数。而且，存在一个正整数n使得a=nc与b=nd。

…物、体、物体：见《伽利略9》…

（…《伽利略》：小说名…）

…式：见《欧几里得13》…

 

无理数的存在，表示物体的比例可能无法以正整数来表示，这破坏了他们以正整数来描述自然规律的哲学。

…描、述、描述：见《伽利略34》…

…自、然、自然：见《欧几里得128》…

…规、律、规律：见《欧几里得43》…

…哲、学、哲学：见《欧几里得110》…

 

欧多克索斯的比例论

 

为了挽救比例论，欧多克索斯提出了以几何量为基础的比例论，被欧几里得收录在《几何原本》的第五册中。

…几、何、几何：见《欧几里得28》…

…量：见《欧几里得27》…

…基、础、基础：见《欧几里得37》…

…《几何原本》：见《欧几里得》…

 

其中的第五条定义是其比例论的核心：

…定、义、定义：见《欧几里得28》…

 

a:b=c:d 当且仅当底下三个等式关系成立：

其中m，n 为正整数（几何量的整倍数）。

 

这个定义回避了数系的规范，因此，即使 a、b、c、d 是无理数，等比关系也可以成立。

…数、系、数系：见《欧几里得30》…

[根据现代的比例论，如果A，B，C，D四个量成比例：A/B=C/D，两边分别乘以分数 m/n，得到（mA)/(nB)=(mC)/(nD）。

由mA>nB，立即可以推出mC>nD；

由mA=nB，立即可以推出mC=nD；

 

欧多克索斯比例论的关键，是将这一性质作为比例的定义，即：

设有A，B，C，D四个量，（mA)/(nB)=(mC)/(nD）

则A∶B=C∶D。

——《牛顿252》]

 

“为了求某图形面积，而将其与第二个图形（该图形可以作“穷竭”式的变形，而使其面积任意接近所求面积）来作比较。

证明过程牵涉到先假定所求面积大于第二图形的面积，并证明其伪；接下来假定所求面积小于第二图形的面积，并将其也证伪。

请看下集《牛顿263、穷竭（jié）法应用时一般按归谬法处理》”

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