实变函数漫谈(10)外测度的Caratheodory条件

  大多数实变教材上是在直线上直接定义勒贝格外测度，可以看作一般性方法的特殊情况，之所以要讲这种一般性的建立方法就是为了后续学习概率论中方便进一步的理解各种测度之建立过程。过程是这样的，首先在环上有一个测度，然后将测度定义延拓到一个包含的σ环上，它表示一切可以被中元素覆盖的集合，很显然它是一个σ环。定义方式就是取了所有覆盖的测度之和的下确界。然而这样定义的外测度并不一定是，原因就是太大了。所以考虑给加上限制条件，关键就是如何寻找这个条件呢。

  核心问题是如何寻找一个,使得是σ环，而且在是测度。这个条件在教科书上就叫做Caratheodory条件：任意的的元素都可以分割测量元素的外测度：。很多人都会感到这个条件有点莫名其妙，所以我们有必要来分析一下为什么要给出这个条件。有如下步骤：

1 验证中的元素满足Caratheodory条件

2 如果用Caratheodory条件来作为的定义会怎么样？可以证明用Caratheodory条件来作为的定义会发现就是的测度，而且还是σ环。一切看起来似乎完美。

3 看作环，作为测度，再定义和相应的，再回头用的Caratheodory条件是不是还能找到，当然希望这样的扩张是在某一步中止的，然而的确如此。

以上就是用一个环上的测度出发，将测度延拓到一个σ环的过程，值得注意的是,比之前讲到的要大很多。