压轴抛物线（硬算分类讨论多，也能行得通）
都是手机手打计算，难免有错误，证明如下
证明：
W:y=x²+1/4
A、B、C在W上，AB垂直于BC于B，设B(t，t²+1/4)，A(x1，x1²+1/4)，C（x2，x2²+1/4），(其中x1≠t≠x2)，矩形的周长为C1=2AB+2BC
过AB、BC的直线l1、l2，根据题意易知l1和l2都不垂直于x轴和y轴，设l1：y=k(x-t)+t²+1/4 （k≠0），
l2：y=-(x-t)/k+t²+1/4
联立W和l1得：
x²-kx+kt-t²=0
韦达定理：t+x1=k，tx1=kt-t²
⇒x1=k-t，x1²=k²-2kt-t²
其中Δ=k²-4(kt-t²)>0
⇒(k-2t)²>0⇒k≠2t
⇒AB=√[(x1-t)²+(x1²+1/4-t²-1/4)²］
=√［(k-t-t)²+(k²-2kt+t²-t²)²］
=√［(k-2t)²+(k²-2kt)²］
=｜k-2t｜√(1+k²)
联立l2和W得
x²+x/k-t/k-t²=0
韦达定理：t+x2=-1/k，tx2=-t/k-t²
其中Δ=1/k²-4(-t/k-t²)=4t²k²+4tk+1
=(2t+1/k)²>0
若t=0，则Δ=1/k²>0
若t≠0，则k≠-1/2t
同理可得：
BC=｜1/k+2t｜√(1+1/k²)
=｜1/k²+2t/k｜√(1+k²)
所以C1=2AB+2BC=2(｜k-2t｜+｜1/k²+2t/k｜)√（1+k²）
不妨设k>0
（1）当2t>k时
⇒2C1=2(2t-k+1/k²+2t/k)√（1+k²）
=2[2t(1+1/k)-k+1/k²]√(k²+1)
>2［k(1+1/k)-k+1/k²］√(k²+1)
=2[1/k²+1]√(k²+1)
=2√(1/k⁴+2/k²+1)(k²+1)
=2√(k²+3/k²+1/k⁴+3)
≥2√［15¹⁵√(k²/8+k²/8+k²/8+k²/8+k²/8+k²/8+k²/8+k²/8+1/2k²+1/2k²+1/2k²+1/2k²+1/2k²+1/2k²+1/k⁴)+3］
=2√[15¹⁵√(k²/8·k²/8·k²/8·k²/8·k²/8·k²/8·k²/8·k²/8·1/2k²·1/2k²·1/2k²·1/2k²·1/2k²·1/2k²·1/k⁴)+3]
=2√[15¹⁵√(1/8⁸)(1/2⁶)+3]
=2√[15·1/4+3]=3√3
当且仅当k²/8=1/2k²=1/k⁴，解得k=±√2，又k>0，即k=√2时，取“=”
所以C1>3√3
(2)当-1/k<2t
