很水的数学分析083：极限函数与和函数的逐项积分和逐项求导

#练习生打卡

1.说明为何菲砖上和谢老师书上的准一致收敛描述方法等价。菲砖⇨谢惠民：取N'=max(N₁,N₂,...,Nm)。谢惠民⇨f连续⇨菲砖。

2.极限函数的逐项积分定理。

①准一致收敛可以保证极限函数Riemann可积，但需要一致连续确保换序。

②例题1.76体现换序的方便；例题1.77显示一致收敛不是必要条件，不一致收敛但可以换序的情况存在。

3.Arzelà控制收敛定理。把“2”中一致收敛削弱为一致有界，但需要添加极限函数Riemann可积这个条件。

4.极限函数的逐项微分定理

条件比较长，需要特殊记忆的是条件中要求一致收敛的是导函数列，原函数列只要求在一点收敛，另外条件中函数列连续可导，结论中极限函数也是连续可导。

导函数列一致收敛于Φ且连续，是为了能够利用上逐项积分定理，从ΦRiemann可积且积分和极限可换序。

另一方面，导函数列一致收敛于Φ以及原函数在一点收敛，可以利用Cauchy收敛原理推得｛fn｝一致收敛。（感觉是为了利用Cauchy收敛原理量身定做的条件）

这样最终就可以得到f(x)=f(x₀)+∫ₓ₀ˣ Φ(x)dx。等号两边同时求导即可

5.和函数的逐项微分定理。

6.例1.79。和用洛必达法则求极限的逻辑有点像。本题是，逐项求导之后发现一致收敛，因此说明逐项求导合法。等于先计算出结果再验证合法。