离散，短时，或快速？傅里叶变换（二）

上一期文章，我们了解了音频制作中，用于洞察频率特性的手段——傅里叶变换。抛开复杂的数学原理，我们可以知道，傅里叶变换提供了把音频从时间域内转换到频率域的可能性。 

但是，傅里叶变换的初始定义是理想的数学领域的范畴，要求信号可以无限细分，这在数字音频领域里显然是不可实现的。因此，傅里叶变换也为了服务于更多领域的应用而产生了变种。另外，也有一些特殊的傅里叶变换，对于我们在音频领域的理解有重要帮助。本篇文章就介绍若干个和音频制作相关的概念以及事实，以供参考。 

1 数字领域中的傅里叶变换——离散傅里叶变换

在连续信号下的傅里叶变换，称为连续时间傅里叶变换。在数字音频中，声音信号都是采样得到的，此时需要引入离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）来应对此类分析。 

实际上，离散傅里叶变换和连续傅里叶变换是类似的，结果上也可以认为是一样的。区别在于定义的时候，连续傅里叶变换用积分式来表示，而离散傅里叶变换用求和式来表示，而积分本身就是一种求和，只不过是细分了特别小的时间段，然后累积了特别多的小时间段的运算结果。 

不同的时间分割方式，会带来不同的分析结果，会影响时间和频率的分辨率。 

2 时频图的运算基础——短时傅里叶变换

 
在上一期文章中，我提到了iZotope Insight等分析器中可以看到随时间变化的频谱，这是怎么得到的呢？ 

实际上，我们只需要对整个音频分段，每段时间很短，但也累积了一定数量的采样点。对每一个时间段内的信号做一次傅里叶变换，就可以获得一串频谱的变化，构成我们熟悉的时频图。 

这种分段的方式叫做“加窗”。此时加的窗的形状可以有很多种，用来应对各类特点的信号，尽可能让STFT的结果更符合我们作为观察者的需求。比如MATLAB的说明中画的这张图：

最上方蓝色信号x(n)是一个频率逐渐增加的信号，灰色的g(n)是窗函数，这种窗是三角形的，特点是每个窗都和相邻的信号相关，但是每时每刻都突出了中间时间点的信号特性。此时分割出来的每个窗都是一样长的，分割后的信号由x1(n)到x6(n)表示。每个窗口内的信号进行离散傅里叶变换（DFT）计算得到最下面的一系列频谱，这些频谱根据窗口的时间依次显示，就形成了随时间变化的频谱。 

3 计算机怎么算？——快速傅里叶变换

虽然离散的傅里叶变换适用于数字信号，但是对于计算机来说，算的还是太慢了。很多信号处理中，进行傅里叶变换只是第一步，后续还有很多处理，而且在一个算法中还可能会用很多次傅里叶变换。此时，如果在傅里叶变换这一步卡太久，就显得很不经济。令人庆幸的是，科学家们提出了一种适用于电脑计算的傅里叶变换算法——快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）。FFT的实现方法有多种，但是不论怎么算，FFT和DFT的结果是完全一致的，唯一的区别是——FFT的计算要快非常多！甚至由于舍入误差的存在，在计算机中FFT算出来的结果比DFT还准确。 

至于FFT具体怎么算的，我们无需考虑（如果实在感兴趣，可以了解一下蝶形算法）。我们只需要认识到一个事实——现今计算机里任何用到傅里叶变换的，几乎都是用FFT。因此，FFT这个词经常出现在音频软件里，

比如这里： 比如这里，Insight 2中提供了FFT的设定：

或者这里，Studio One自带的频谱仪中，也提到了FFT size的设定： 

所以，FFT size是什么呢？它会影响什么呢？ 

还是先给出一个事实：在运算中，音频信号有多少个采样点，计算出FFT的结果就有多少个点。这个在MATLAB中可以轻松验证。 

运行代码：

audioSignal = sin(1:1000);

audioSpectrum = fft(audioSignal); 获得结果：

FFT前后的数据长度一致，而FFT后的结果是复数，因为复数保留了频谱的幅度和相位。 

这意味着：时间段给的越长，频谱算出来就越精确。但这也意味着，频谱图展现出来的实时性就降低。所以，时间和频率的精确度不能同时达到很高，必须根据需要进行取舍。 

当时间窗口给的很小的时候，比如512点，对于一个44100Hz的音频，512点占有的时长是：512/44100=0.0116（秒），也就是11.6毫秒。而对于一个65536的FFT size，这个数字是1.486秒。这就意味着，你的音频信号在512的FFT size下每隔11.6毫秒就可以更新一次状态，而在65536的FFT size下你需要等1.486秒的时间才能看到下一帧的频谱。

如果你特别希望判断一个短时间内出现的声音的频率特点，那么你必须使用小的FFT size，同时，你不得不损失频谱的精细度；如果你要判断的是一段长时间的频谱的整体特性，那么你应该选择更大的FFT size，以获得更精细的频谱精度。

在Adobe Audition中可以通过Ctrl+Shift+↑/↓来控制频谱的时间和频率分辨率，其本质就是改变窗的大小，来实现时间频率精度的转换。当时间分辨率最佳时，频率的分辨率非常低，但是你可以清楚地看到，某个区间内的频率在哪个瞬间出现；当频率分辨率最佳时，时间分辨率很低，你会看到很多不同时出现的频率产生了交叉，但是你可以清楚地看到，信号内到底具有哪些具体频率。 

如果没有找到合适的分辨率“甜点”，你可能会被这个时频图误导！比如你看到低频一片黄，以为这段音频的低频“很浑浊”，而选择加一个比如30Hz的低切“控制一下”，其实这个低频就是在60-100Hz附近，这个低切根本不起作用。虽然我们说混音师要“结合眼睛混音”，但是如果你不理解看到的东西的真真假假，恐怕会带来不必要的误解。 

其实，就像量子力学的“测不准原理”一样，时间和频率的精确度在傅里叶变换中也是“测不准”的。你无法同时获得精细的时间和频率精度，必须根据你的需要选择一个方向，或者找到一个介中的值。 

下一期文章，让我们来了解一些常用的傅里叶变换对和特殊函数，辅助我们更好地了解频谱的信息，以及为未来更多的音频分析思想打好基础。

本文作者：艾夫

音乐制作人、编曲人、混音师、艾楽音乐工作室主理人、华中科技大学光电信息专业硕士。