雅可比椭圆函数的傅里叶级数

我们知道，雅可比椭圆函数具有双周期性，那么选定实周期就能将它展开为傅里叶级数

以下是比较容易得到的

那么sn作为周期函数，它的平方也为周期函数而且周期是2K，那么如何计算它的傅里叶展开呢？whittaker的书中提到结果但是未给出证明，其他地方找了一圈也似乎并没有找到证明过程，于是自己构造了一个路径来计算它。

a0是简单

对于an 我们选定路径，(为什么不是平行四边形？)以小圆弧绕过边界上的极点，那么我们有：

对于实轴与平行于实轴的积分我们有：

而对于极点处我们有展开：

于是得到两个小圆弧的估计：

沿虚轴及平行于虚轴的积分：

整理上述结果于是得到:

当然可以考虑一下收敛范围，这更加有用。

由此可要使得级数收敛，则必须满足,由此可以推出其他雅可比椭圆函数的傅里叶展开，例如：

对这级数简单操作一下就得到了一些非常有用的结果：

不难得到：