关于反函数求导的那些事

一、前言

反函数这个概念，相信很多同学在高中时就听说过了。但是说到本质上的理解，可能或多或少还是有所欠缺的——这一点在高数课程进行到导数与微分的时候就集中体现出来了。突如其来的微分运算，加上本来就不熟悉的反函数，简直是被微积分“双重+降维”打击，可谓雪上加霜。其实纵观微分部分全局我们可以发现，反函数的逆向思维，完全就是你数学核心思维的表现；换句话说，当你彻底理解了反函数的思想，其他的微分运算在你眼里将会不堪一击。所以今天呢就和不理解的小伙伴一起来说一说这个事情到底是怎么回事，也希望我的文章能给不明白的同学们一点点的启发和思路。

一般情况下，我们是这样定义反函数的概念的：对于任意一个函数  ，都有另外的一个函数   与之对应，我们就称这里的是函数  对应的反函数，其中  表示  的逆映射。

那么在此基础上，通过导数和微分的关系我们可以得知，该反函数的导数和直接函数的导数关系特别容易理解，即：=   ；

所以我们(包括很多人）就暂且称之为：反函数的导数是直接函数的倒数，虽然描述的指向性不强、严谨性还有待商榷，但是如果这样记得快，就暂时先这么说吧；

接着我来给大家证明一下，过程如下：

我们知道，原函数为，

所以在定义域内任取一点x，使它满足：对x施加增量x，x+x也在定义域内，

而且此时有  y=；

于是有=  ；

又因为函数可导且连续，故   （这是函数连续性的第二定义，建议记住，以后的证明题直接用这个定义的比较多），

从而= = ；

即为： =  ，得证。

ps：打代码太累了哈哈哈

证明完了，我们就开始说说反函数求导容易犯晕的地方叭，切入正题！

二、反函数高阶导数求导

先把题干列出来叭：

；

不要着急，我们一个一个来，先看反函数二阶导：

我们已经学过微分和导数的关系了，相信大家的老师都说过这样的表达方式：

 

事实上，二阶导的意思就是对一阶导函数进行一次求导。那么在此基础上，我们就能知道：

；

然后我们再看题干里给的条件是什么：，所以有：

;

这个时候问题就来了，怎么进行下去呢？相信小伙伴可能有这样的疑问，事实上，在微分运算中碰到这种情况的时候是很多滴，那我们怎么办，换句话说，我们怎么做可以让微分计算能够开展下去？

答案是上下同时除以自变量的微分dx，构造新导数；我们之所以这么做，是因为对于 这个式子，我们无从下手：请大家想一下，y=f（x）是原函数，也就是说，不论y也好，y’也好，归根结底是以x为自变量的，所以你想要运算就不能脱离这个x；不仅如此，对于1/y’来说，它不是以y为自变量的，所以到这里就没办法继续开展下去了，只能构造新导数。你想要直接算，简直不要太异想天开（在这里补充一下，一旦碰到这种无从下手的情况，一定要思考目标函数的自变量是什么，这样才能继续进行）。

那我们就构造新导数，于是有： =  ，我们分子分母分别处理一下；

分母部分不用多说了，；

重点看分子部分的  ：这里其实就相当于对1/y’ 求导，怎么对它求导呢？

我们上面说过了，1/y’的自变量是x，那我们不妨设u=y’，利用复合函数，求1/u的导数，即：

= ；

所以我们可知， ，这样一来，反函数的二阶导就求出来啦！

同理，我们就可以算反函数的三阶导了，即有：

；

然后和上述一样地构造新导数，即：

；

分母部分还是一样的好理解，；

接下来看分子部分：；

我们需要对-y''/y'^3求导：在这里我们可以分别把-y''和y'^3看作是两个不同的、以x为自变量的函数，暂且设为k（x）和h（x）；然后进行导数除法运算法则运算，即：

；

所以综上所述，；