MIT 2016 Quantum Physics I | Lecture Note 3

Quantum Physics I, Lecture Note 3 | Quantum Physics I | Physics | MIT OpenCourseWare 

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1 Photoelectric Effect 光电效应、

  光电效应首次由海因里希·赫兹于1887年观察到。他观察到，当抛光的金属板受到照射时，它们可能会发射电子，当时称为“光电子”。因此，这些发射的电子产生了光电流。关键观察结果如下：

  • 存在一个阈值频率 ν0。只有在频率 ν>ν0 时才会有光电流产生。频率 ν0 取决于金属以及表面原子的排列方式。它也受到不均匀性的影响。

  • 光电流的大小与光源的强度成比例。 

  • 光电子的能量与光源的强度无关。

  直到1905年，关于这种效应中的特征的自然解释才出现，当时爱因斯坦提出，光中的能量是由能量为hν的离散量子（后来称为光子）携带的。其中 h 是普朗克常数，是普朗克用来拟合黑体辐射能量与频率的函数关系的常数。

  给定材料具有一个特征能量 W，称为逸出功函数，它是弹射出一个电子所需的最小能量。这不容易计算，因为它是许多电子与背景原子相互作用的结果。然而，它很容易测量。当材料表面受到辐照时，材料中的电子吸收入射光子的能量。如果单个光子的吸收给电子带来的能量大于逸出功函数 W，那么电子就会被喷射出去，其动能 Ee− 等于光子能量与逸出功函数之差：

爱因斯坦所写的这个方程解释了上述实验特征，前提是我们假设量子作用于单个电子以将它们喷射出去。阈值频率通过定义为在这种情况下光电子的能量为零来确定。对于 ν > ν0，电子将被喷射出去。增加光源的强度会增加光子到达的速率，这将增加电流的大小，但不会改变光电子的能量，因为它不会改变每个入射量子的能量。

  方程（1.2）使爱因斯坦得以做出一个预测：光电子的动能与光的频率成线性增加。爱因斯坦的预测在实验上得到了米利坎（1915年）的证实，他仔细测量了光电子的能量，并确认了它们与能量的线性依赖关系。米利坎的认真工作使他能够确定普朗克常数的值，准确度高于1％！然而，怀疑仍然存在，物理学家们对于这些光量子的粒子性质还没有被完全说服。

例子：考虑波长为λ = 290nm的紫外光照射到一个逸出功函数为W = 4.05eV的金属上。光电子的能量是多少？它的速度是多少？

  解决这些问题时，不必查阅常数是很有用的。为此，请尝试回忆以下有用的关系式：

其中 MeV = 10^6 eV，而 fm = 10^-15 m。让我们使用这个关系来计算光子能量。在这种情况下，

因此，

为了计算能量，我们设定：

回想一下 mec^2 = 511,000 eV，我们可以得到：

带入 c = 300,000 公里/秒，我们最终得到 v = 284.4 公里/秒。

现在是考虑单位的好时机，特别是 h 的单位。我们可以问：是否存在一个具有 h 单位的物理量。答案是肯定的，我们现在就来看看。从方程 E = hν，我们有：

其中 [·] 表示一个量的单位，而 M、L、T 分别是质量、长度和时间的单位。我们已经将最右边的表达式写成了长度和动量单位的乘积。因此，

我们可以看出 h 具有角动量的单位！实际上，对于自旋为半的粒子，自旋角动量的大小为 1/2h。

通过[h] = [r][p]，我们还可以看出对于给定质量 m 的任何粒子，都有一种将长度与之关联的规范方法。实际上，利用光速，我们可以构造动量 p = mc，然后长度 可从比值 h/p 获得。这实际上就是一个粒子的康普顿波长C：

一个长度单位；这被称为质量为 m 的粒子的康普顿波长。请注意，这个长度与粒子的速度无关。粒子的德布洛意波长使用的是粒子的真动量，而不是 mc！因此，康普顿波长和德布洛意波长不应混淆！

  我们可以对粒子的康普顿波长 λC 获得一些物理直觉。我们声明 λC 是一个光子的波长，其能量等于粒子的静止能量。实际上，我们会有：

确认这一说法。假设您正在尝试定位一个质量为 m 的点粒子。如果您使用光，粒子位置的可能精度大约是光的波长。一旦我们使用波长小于 λC 的光，光子携带的能量将超过粒子的静止能量。这时，光子的能量可能会转化为更多质量为 m 的粒子，使得定位粒子变得困难，甚至可能无法实现。康普顿波长是一个尺度，相对论量子场论需要考虑粒子产生和湮灭的可能过程。

  让我们计算电子的康普顿波长：

这个长度大约比玻尔半径（53 皮米）大约 20 倍，并且大约比质子的大小（1 费米）大约两千倍。电子的康普顿波长出现在称为康普顿散射过程中光子波长变化的公式中。

2 Compton Scattering 康普顿散射

  最初，爱因斯坦并没有明确表示光量子意味着光的粒子。然而在1916年，他提出量子将携带动量以及能量，使得粒子的性质更加清晰。在相对论中，一个粒子的能量、动量和静止质量之间有以下关系：

（将其与经典方程 E = p^2/2m 进行比较。）当然，我们也可以用速度来表示粒子的能量和动量：

  您应该使用表达式（|p| = p）来确认（2.13）成立。像光子这样以光速运动的粒子必须具有零静止质量，否则由于分母趋近于零，其能量和动量将变为无穷大。将静止质量设为零，方程（2.13）给出了光子能量 Eγ 与光子动量 pγ 之间的关系：

然后，利用 λν = c，我们得到：

当我们讨论物质波时，我们将再次看到这个关系。

  康普顿进行了实验（1923年至1924年），将X射线散射到碳靶上。X射线对应的光子能量范围从100电子伏特到100千电子伏特。目标是将X射线光子散射到自由电子上，而在某种程度上，原子中的电子会以这种方式行为。

  康普顿实验的经典对应物是电磁波与自由电子的散射，称为汤姆孙散射。在这里，一个电磁波入射到一个电子上。电磁波的电场震动了电子，电子与入射场的频率振荡。电子的振荡产生一个辐射场，其频率与入射辐射的频率相同。在经典的汤姆孙散射中，微分散射截面由以下公式给出：

其中 θ 是入射和散射波之间的角度，辐射能量与入射光的频率相同。这在图2中显示出来。这个截面的单位是长度的平方，或者说是面积，这是应该的。它代表了从入射平面波中提取的能量量，这些能量被电子散射。实际上，量子 e2/(mc2) 被称为经典电子半径，大约是2.8费米！比质子略大一些！

  如果我们将光看作光子，正在进行的基本过程是两个粒子之间的碰撞；一个入射光子和一个大致静止的电子。有两个事实可以迅速证明：

• 光子不能被电子吸收。这与能量和动量守恒是不一致的（练习）。 

• 光子必须失去一些能量，因此最终光子的波长 λf 必须大于初始光子的波长 λi。在实验室参考系中，初始静止的电子必须产生反冲，从而获得一些动能。

  确实，康普顿的观测结果与汤姆孙散射的预测不符：X射线在散射后改变了频率。使用能量和动量守恒进行计算表明，波长的变化与散射光子与原始光子之间的角度相关：

  请注意，康普顿电子波长的出现，即光子发生散射的粒子。光子的最大能量损失发生在 θ = π，其中：

  最大可能的波长变化为2λC。对于 θ = π/2，波长的变化恰好是lc。

康普顿的实验使用了钼 X 射线，其能量和波长为：

入射到一个碳靶上。将探测器放置在一个角度 θ = 90° 处，强度（或散射的光子数）随波长变化的图表如图2所示。可以发现一个峰值对应于 λf = 0.0731 纳米，但也有一个第二个峰值对应于原始波长 λi = 0.0709 纳米。

在 λf 处的峰值是估计的：λf - λi 约为 2.2 皮米，大约等于 2.4 皮米的康普顿波长。考虑到光子的能量约为17千电子伏特，而碳的束缚态能量约为300电子伏特，预期的峰值代表了在碰撞中原子被电离的情况，因此可以合理地考虑被抛出的电子。而在 λi 处的峰值表示电子从光子那里获得一些动量，但仍保持束缚状态。这并不是非常不可能的情况：束缚电子的典型动量实际上与光子的动量相当。在这种情况下，光子以90°散射，反冲动量由整个原子承载。因此，相关的康普顿波长是原子的康普顿波长。由于碳原子的质量比电子的质量大几千倍，碳原子的康普顿波长要小得多，比电子的康普顿波长小得多，因此光子的波长不应该有可检测的变化。

3 Matter Waves 物质波

  正如我们所看到的，光既表现出粒子性质，又表现出波动性质。这种行为通常被称为二象性：对象的完整现实通过使用对象的波动和粒子特性来捕捉。光子是能量为 Eγ 的粒子，但具有频率 ν，这是一种波动属性，满足 E = hν。它是一个具有动量 pγ 的粒子，但也具有波长 λ，这是一个波动属性，由式（2.16）给出。

  

在1924年，路易斯·德布罗意（Louis de Broglie）提出，光子的波动/粒子二象性是普遍的，因此也适用于物质粒子。通过这种方式，他猜测了物质的波动性质。受到（3.22）的启发，德布罗意假设与具有动量 p 的物质粒子关联的是一个波长为 λ 的平面波，其表示为：

这是一个完全的量子属性：如果 h 为零，那么 λ 也为零，粒子就没有波动性质。这个激动人心的结果是，物质粒子可以发生衍射或干涉！在著名的戴维森-格默实验（1927年）中，电子被击中一个金属表面，发现在某些角度上散射电子的强度出现峰值。这些峰值显示了从金属晶格的散射中产生的构造干涉效应，证明了电子的波动性质。人们还可以用电子进行双缝干涉实验，而且可以每次只发射一个电子来进行实验。Eibenberger等人最近的一项实验[arXiv:1310.8343]报道了使用具有810个原子且质量超过10,000原子质量单位（相当于电子质量的2000万倍）的分子进行的干涉实验！

  德布罗意波长可以计算来估计量子效应是否重要。考虑这个目的，一个质量为 m 动量为 p 的粒子入射到一个尺寸为 x 的物体上，如图3所示。设 λ = h/p 表示粒子的德布罗意波长。如果 λ 远远小于 x，则粒子的波动性质不重要。因此，“经典近似”，其中波动效应可以忽略不计，要求：

利用 λ = h/p，这得出：

一个两边具有角动量单位的关系式。

  经典行为是量子力学的一个微妙极限：经典电磁场需要大量的光子。然而，任何具有确切、固定光子数的状态，即使很大，也不是经典的。经典电磁状态被称为相干态，其中光子的数目会波动。