抛物线的几何性质（三）

从此篇开始命题直接摆图片上结论吧，说一堆文字读起来也费劲还不如比较好理解的方式说清楚

                                                                      定义

定义11.抛物线上某切线与轴交于一点，此切点的纵标线交于轴另一点，此两关于轴的交点构成的线段叫做此切点的【次切线】

定义12.抛物线上某切点的法线交于轴一点，此切点的纵标线交于轴另一点，此两关于轴的交点构成的线段叫做此切点的【次法线】

这两个定义都是为了方便书写引入的，反正上百度没查到具体词条

                                                                      命题

命题8.如图，次切线GI = 2GH

证明：

连结E、F;过F作准线垂线交于点J

由于IF切于抛物线，因此有

    IE = IF（命题7）

不妨设IH = x ;HE =y

就有

    IE = x + y = JF

    OH = HE = y

容易证明四边形JOGF为矩形

因此OG = JF = x + y

容易得出HG = x + y

因此，IH = GH

GI = 2GH

证毕

命题9.如图，次法线GK = 2HE

证明：

过点F作准线之垂线FJ，连结点E、F

不妨设OH = x = HE；EG = y

由于IF为切线，则

    IE = EF = EK = 2x + y （命题7）

所以 GK = 2x = 2HE

证毕

命题10.如图，FI为抛物线之切线，与抛物线顶点之切线交于G，EG垂直平分线段IF，且有△GHE∽△FGE

证明：

过F作轴的垂线，那么FJ即为点F的次法线

则    IH = HJ，H为IJ之中点

如果顶点H的切线HG不垂直于轴，那么，HG将与抛物线有两个交点，这是不合理的，因此HG一定垂直于轴

那么，HG∥FJ

线段HG为 △IJF 的中位线

于是    IG = GF，点G为线段IF的中点

由于FI为抛物线之切线

因此    IE = EF（命题7）

△IEF为等腰三角形，所以GE垂直平分线段IF

接着就可以得出△GHE∽△FGE

证毕

命题11（亚当斯性质）.如图，直线FI为抛物线之切线，J为切线上任意一点，过点J作准线之垂线交于点K，再过点J作EF之垂线交于L，那么，KJ = EL

证明：

过切点F作准线之垂线MF

容易证明

    △JLF∽△GEF

    △GKJ∽△GMF

于是有 KJ / MF = GJ / GF

            EL / EF = GJ / GF

而且，EF = MF

因此 EL = KJ

证毕

命题12.FH、FG是抛物线两条切线，过F作轴的平行线，连结两切点，平行线与连线的交点即为连线的中点

证明：

过点H、G作准线之垂线HK、GJ

连结F、J；F、K；E、G；E、H

于是有

    FJ = FE

    FE = FK（命题4）

得出 FJ = FK

所以△FEJ是等腰三角形

又因为FI平行与轴，而准线又垂直于轴

因此FO垂直平分线段KJ

注意到 GJ∥ OI ∥KH

那么很快得出GI = HI

点I为线段GH中点

证毕

本文完

马上就要开学了，更新速度可能要大大降低，但这个系列我会更下去的