复习笔记Day115

2023-03-08 01:04 作者:间宫_卓司 0人读过 | 我要投稿

整套考卷打上去实在太累了，而且有的题目确实没啥意思，所以我还是恢复到之前只写一些个人认为比较有意思的题目上去的状态

115.1 [苏州大学2023] $n$ 阶复方阵 $A$ 称为对合矩阵，若 $A%5E2%3DE_n$

(1)证明：任意一个对合矩阵都可以相似对角化

(2)证明：两两可交换的 $n$ 阶对合矩阵最多有 $2%5En$ 个

(1)记 $f%5Cleft(%20%5Clambda%20%5Cright)%20%3D%5Clambda%20%5E2-1$ ，那么因为 $f%5Cleft(%20%5Clambda%20%5Cright)%20%3D%5Cleft(%20%5Clambda%20-1%20%5Cright)%20%5Cleft(%20%5Clambda%20%2B1%20%5Cright)%20$ 只有单根，故 $A$ 的极小多项式也只有单根，从而 $A$ 可以相似对角化

(2)容易发现 $%5Cleft%5C%7B%20%5Cmathrm%7Bdiag%7D%5Cleft%5C%7B%20c_1%2Cc_2%2C%5Ccdots%20%2Cc_n%20%5Cright%5C%7D%20%3Ac_i%3D%5Cpm%201%2Ci%3D1%2C2%2C%5Ccdots%20%2Cn%20%5Cright%5C%7D%20$ 是一个满足条件的集合，并且不能再向里面添加元素了，下面来严格证明一下

设 $B$ 是两两可交换 $n$ 阶对合矩阵构成的集合中元素最多的集合之一

若 $C$ 为两两可交换 $n$ 阶对合矩阵构成的集合，那么 $C%5Ccup%20%5Cleft%5C%7B%20E_n%20%5Cright%5C%7D%20$ 也是两两可交换 $n$ 阶对合矩阵构成的集合，所以 $E_n%5Cin%20B$

其次， $B$ 中的元素的个数和 $P%5E%7B-1%7DBP%3D%5Cleft%5C%7B%20P%5E%7B-1%7DAP%3AA%5Cin%20B%20%5Cright%5C%7D%20$ 中的元素的个数是一样的，因为 $A$ 可对角化且特征值仅为 $%5Cpm%201$ ，所以不妨设 $%5Cmathrm%7Bdiag%7D%5Cleft%5C%7B%201%2C1%2C%5Ccdots%20%2C1%2C-1%2C%5Ccdots%20%2C-1%20%5Cright%5C%7D%20%5Cin%20B$ ，其中 $1$ 的个数为 $x$ 个， $-1$ 的个数为 $y$ 个

当 $n%3D1$ 时，结论显然

假设当 $k%3C%20n$ 时结论成立，即两两可交换的 $k$ 阶对合矩阵最多有 $2%5Ek$ 个，那么任取 $A%3D(a_%7Bij%7D)_%7Bn%5Ctimes%20n%7D$ ，有

$%5Cmathrm%7Bdiag%7D%5Cleft%5C%7B%201%2C1%2C%5Ccdots%20%2C1%2C-1%2C%5Ccdots%20%2C-1%20%5Cright%5C%7D%20A%3DA%5Cmathrm%7Bdiag%7D%5Cleft%5C%7B%201%2C1%2C%5Ccdots%20%2C1%2C-1%2C%5Ccdots%20%2C-1%20%5Cright%5C%7D%20$

记 $A%3D%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%09A_1%26%09%09A_2%5C%5C%0A%09A_3%26%09%09A_4%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%5D%20$ ，其中 $A_1$ 为 $x%5Ctimes%20x$ 阶矩阵， $A_4$ 为 $y%5Ctimes%20y$ 阶矩阵，那么

$%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%09E_x%26%09%09%5C%5C%0A%09%26%09%09-E_y%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%5D%20%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%09A_1%26%09%09A_2%5C%5C%0A%09A_3%26%09%09A_4%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%5D%20%3D%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%09A_1%26%09%09A_2%5C%5C%0A%09A_3%26%09%09A_4%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%5D%20%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%09E_x%26%09%09%5C%5C%0A%09%26%09%09-E_y%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%5D%20$

化简，得

$%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%09A_1%26%09%09A_2%5C%5C%0A%09-A_3%26%09%09-A_4%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%5D%20%3D%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%09A_1%26%09%09-A_2%5C%5C%0A%09A_3%26%09%09-A_4%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%5D%20$

从而 $A_2%3DA_3%3D0$ ，即 $B$ 中矩阵只能有 $A%3D%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%09A_1%26%09%09%5C%5C%0A%09%26%09%09A_4%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%5D%20$ 的形式，又因为 $A%5E2%3D%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%09A_1%26%09%09%5C%5C%0A%09%26%09%09A_4%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%5D%20%3D%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%09A_%7B1%7D%5E%7B2%7D%26%09%09%5C%5C%0A%09%26%09%09A_%7B4%7D%5E%7B2%7D%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%5D%20%3DE_n$ ，所以 $A_1%2CA_4$ 也是对合矩阵，依归纳假设，这样的 $A_1$ 最多有 $2%5Ex$ 个，这样的 $A_4$ 最多有 $2%5Ey$ 个，合起来这样的 $A$ 一共有 $2%5En$ 个，又因为 $E_x$ 和 $-E_y$ 也包含在其中，所以 $B$ 中的元素最多有 $2%5En$ 个

115.2 [南开大学2023]设 $A$ 是 $A%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%20%5E%7Bn%5Ctimes%20n%7D$ 是正定矩阵， $%5Cbeta%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%20%5En%2Cc%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%20$ 。如果存在 $x%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%20%5En$ ，使得 $x%5ETAx%2B2%5Cbeta%20%5ETx%2Bc%3D0$ ，证明： $%5Cbeta%20%5ETA%5E%7B-1%7D%5Cbeta%20%5Cge%20c$

如果 $n%3D1$ ，那么这个结论就是熟悉的一元二次方程的判别式，现在先来回忆一下这个判别式是怎么推导出来的

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09%26ax%5E2%2B2bx%2Bc%5C%5C%0A%09%26%3Da%5Cleft(%20x%2B%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D%20%5Cright)%20%5E2-%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D%5E2%5C%5C%0A%09%26%3Da%5Cleft(%20x%2B%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D%20%5Cright)%20%5E2%2Bc-%5Cfrac%7Bb%5E2%7D%7Ba%7D%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

所以只能有 $c-%5Cfrac%7Bb%5E2%7D%7Ba%7D%3C0$

根据要证明的结论，合理地猜想，对于一般的情况，有下式成立

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09%26x%5ETAx%2B2%5Cbeta%20%5ETx%2Bc%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cleft(%20x%5ET%2B%5Cbeta%20%5ETA%5E%7B-1%7D%20%5Cright)%20A%5Cleft(%20x%2BA%5E%7B-1%7D%5Cbeta%20%5Cright)%20%2Bc-%5Cbeta%20%5ETA%5E%7B-1%7D%5Cbeta%20%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

下面来验证一下

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09%26%5Cleft(%20x%5ET%2B%5Cbeta%20%5ETA%5E%7B-1%7D%20%5Cright)%20A%5Cleft(%20x%2BA%5E%7B-1%7D%5Cbeta%20%5Cright)%20%2Bc-%5Cbeta%20%5ETA%5E%7B-1%7D%5Cbeta%5C%5C%0A%09%26%3Dx%5ETAx%2Bx%5ET%5Cbeta%20%2B%5Cbeta%20%5ETx%2B%5Cbeta%20%5ETA%5E%7B-1%7D%5Cbeta%20%2Bc-%5Cbeta%20%5ETA%5E%7B-1%7D%5Cbeta%5C%5C%0A%09%26%3Dx%5ETAx%2B2%5Cbeta%20%5ETx%2Bc%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

所以这确实是成立的，故

$%5Cleft(%20x%5ET%2B%5Cbeta%20%5ETA%5E%7B-1%7D%20%5Cright)%20A%5Cleft(%20x%2B%5Cbeta%20A%5E%7B-1%7D%20%5Cright)%20%3D%5Cbeta%20%5ETA%5E%7B-1%7D%5Cbeta%20-c%5Cge%200$

结论得证

115.3 [南开大学2023]是否存在矩阵 $A%5Cin%20%5Cmathbb%7BQ%7D%20%5E%7B2%5Ctimes%202%7D$ ，使得 $A%5E6%3DE%2CA%5E3%5Cne%20E%2CA%5E2%5Cne%20E$ ，且 $A$ 中所有元素之和为 $2023$ ？如果存在，请给出具体的例子，如果不存在，请说明理由

记 $A%5E3%3DB$ ，则 $B$ 是对合矩阵， $B$ 可对角化且其只能以 $1$ 或 $-1$ 为特征值，又因为 $B%5Cne%20E$ ，所以其相似于 $%5Cmathrm%7Bdiag%7D%5Cleft%5C%7B%201%2C-1%20%5Cright%5C%7D%20$ 或 $%5Cmathrm%7Bdiag%7D%5Cleft%5C%7B%20-1%2C-1%20%5Cright%5C%7D%20$

若其相似于 $%5Cmathrm%7Bdiag%7D%5Cleft%5C%7B%201%2C-1%20%5Cright%5C%7D%20$ ，则因为方程 $%5Clambda%20%5E3%3D1$ 的解为 $%5Clambda%20%3De%5E%7B%5Cfrac%7B2%5Cpi%20i%7D%7B3%7D%7D%2Ce%5E%7B%5Cfrac%7B4%5Cpi%20i%7D%7B3%7D%7D%2C1$ ， $%5Clambda%20%5E3%2B1%3D0$ 的解为 $%5Clambda%20%3De%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%20i%7D%7B3%7D%7D%2C-1%2Ce%5E%7B%5Cfrac%7B5%5Cpi%20i%7D%7B3%7D%7D$ ，所以 $A$ 以 $%5Clambda%20%3D%5Cleft%5C%7B%20e%5E%7B%5Cfrac%7B2%5Cpi%20i%7D%7B3%7D%7D%2Ce%5E%7B%5Cfrac%7B4%5Cpi%20i%7D%7B3%7D%7D%2C1%20%5Cright%5C%7D%20$ 中的一个元素为一个特征值，以 $%5Cleft%5C%7B%20e%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%20i%7D%7B3%7D%7D%2C-1%2Ce%5E%7B%5Cfrac%7B5%5Cpi%20i%7D%7B3%7D%7D%20%5Cright%5C%7D%20$ 中的一个元素为另一个特征值，因为 $A$ 是有理数域上的矩阵，所以其复根只能是共轭的，所以 $A$ 的特征值只能是 $%5Clambda%3D%5Cpm1$ ，但是此时 $A%5E2%3DE$ ，矛盾

同理可知， $B$ 相似于 $%5Cmathrm%7Bdiag%7D%5Cleft%5C%7B%20-1%2C-1%20%5Cright%5C%7D%20$ 时， $A$ 的特征值只能为 $%5Clambda%20_1%3De%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%20i%7D%7B3%7D%7D%2C%5Clambda%20_2%3De%5E%7B%5Cfrac%7B5%5Cpi%20i%7D%7B3%7D%7D$