《高等代数》全程教学视频（宋浩老师）
个人笔记
2.2 排列
1.排列是有序数值 中间不能缺 1245不是排列
2.逆序数如何计算：标箭头 然后数有几个数字比6小 有五个 以此类推相加。如果有奇数个 就是奇排列 反之偶排列。
2.3 n阶行列式
n＝4k+1或者4k时为偶排列
n＝4k+2或+3时是奇排列
行列式形状是方的 用直线
矩阵用（）和 [ ]
主对角线全是正 副对角线考虑正负
2.4 行列式的性质
转置行列式就是把原始的行变成列 列变成行
性质一：转置行列式与原行列式相等
性质二：交换行列式的两行 要变号
推论：行列式中 两行（列）相等 D=0
性质三：用k去乘行列式的某一行元素等于用k去乘行列式
推论一：D中有一行的元素都有公因子k k往外提一次，D中所有元素都有公因子k往外提n次推论二：D中两行成比例 D=0
性质四：见下图（例如 把一个行列式分成两个相加 第一行拆开后 其他行保持不变 不能全部都拆开）
性质五：将D的某一行（列）元素都乘以k 加到零一行上去 D值不变
2.6 行列式按一行（列）展开
1.余子式就是划个十 剩余的部分（M
代数余子式是在前头乘以（-1）的 角标和 次方(A
2.行列式按行（列）展开定理：
n阶行列式=它的某一行（列）的元素 与 其对应的代余子式的乘积之和
❗学会构造
（1）计算第一问的余子式与第四行是什么无关。原式子第四行有对应的余子式 第一问也有对应的余子式。那我们就构造第四行是1111即第一问的系数。可以看见右下角计算A21+A22 可以构造成1100
异乘变零定理（期末考得不多 考研多）:某一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和=0
原理：前面提到的构造＋行列式两行相等 行列式＝0
2.8 拉普拉斯定理-行列式的乘法规则
2阶子式：两条杠交集的数字
余子式：剩下的
代数余子式（-1）的右上角：二三行三四列 然后相加
拉普拉斯定理（适用于有一块0的）：在D中取定 k行 由这k行所组成的一切k阶子式与其代数余子式乘积之和=D（意思就是 先取定三行 然后再取三列 比如123列 124列 125列然后算出来相加）
2.7 克拉默法则 （缺点：计算量大）
定理：含有n个方程n个未知数的n元方程组 其系数行列式≠0时 x1=D1/D X2=D2/D Xn=Dn/D
（D1就是方程组最右边一列数取代D中第一列 D2D3同理）
条件：
①方程个数=未知数个数(因为要做成行列式 行列式是方的)
②D≠0（因为分母不可以为0）
齐次线性方程组：常数项全部为0的线性方程组
方程组如上 但是常数项全为0 方程组只有零解 （行列式只要有一行/列全是0 D=0）
①齐次方程组一定有解 至少有零解（解=0）
②齐次 方程个数＝未知数个数 D≠0，只有零解（满足克莱姆法则 用右边一列0取代 分子上的 行列式对应列 解＝0）
③齐次 方程个数=未知数个数
如果有非0解 D=0 /如果D=0 有非零解
（②的逆否命题 如果D≠0 怎么可能有非零解 应该只有零解）
2.5 行列式的计算1
（ 1）
（2）爪形行列式解体技巧一样：用-2消掉1，-3消掉1，以此类推 （想办法化成上三角下三角）
（3）也可以直接把最后一行按行列式展开计算
行列式计算2
（1）（2）都要用范德蒙（ps：范德蒙德在线代1.4）
（3）考研真题
①用拉普拉斯定理
②
行列式计算3
（1）加边法【用的少】＋爪形
竖着看 说是因为X1 X1 X1/X2 X2 X2/XnXnXn 所以用加边法（加一行加一列的意思）
3.2 n维向量空间
【α=（a1a2...an) 其中a代表几维
α的行向量 通过转置就变成列向量了
（行矩阵和行向量一个意思 不过前者没有逗号）
问：两个零向量相等吗 答：不相等 维数不一定相同
向量的相等：同种的向量 每个分量都相等
eg：（a，b，c）=（1，2，3）】
线性运算：α是向量/矩阵 k是常数
AB=0推不出A=0或B=0（AB是矩阵 矩阵乘法三个不满足）
3.3 线性相关性
线性组合：k可以全是0 得到的不就是零向量
线性表示：
线性表示结论：
线性相关：k不全为0（找到一组就行）
线性无关：找不到k不全为0的情况
结论：
（3）（4）考研用得很多
（8）线性无关的向量组的接长向量组也无关
线性相关的向量组的截短向量组也相关【少】
部分组相关 整体相关
整体无关 部分无关【多】
（9）向量组有两个向量组成比例 则该向量组相关
向量组的等价
矩阵的等价是 由A初等变换得到B，A等价于B
向量组的等价：（1）（2）可以相互线性表示
①反身性 ②对称性 ③传递性
p61先空着 好烦 不想看
极大无关组（所含向量个数最多的线性无关的部分组）：a1 a2是向量组的部分组。①部分组无关【r个】②任一向量均可由部分组表示。
任【r+1】个向量都相关
结论：①零向量 没有极大无关组
②线性无关的向量组其极大无关组是本身
③向量组的极大无关组可能不唯一
④向量组与极大无关组是等价的
⑤向量组的两个极大无关组等价 且所含有向量个数相同
⑥ 向量组（1）可以由向量组（2） 表示 则1的极大无关组也可以由（2）的极大无关组表示
⑦等价的向量组 其极大无关组也等价（传递性）
求极大无关组
初等行（列）变换不改变矩阵列（行）向量的线性关系
↓要化成行简化
后面顺序乱掉了 有点找不到是第几节
4.2 矩阵的运算
矩阵的数乘
矩阵提取公因子：矩阵所有元素都有公因子k k往外提一次
行列式提公因子：一行有公因子k k往外提取一次，n行都有公因子k 提取n次
规律
矩阵的乘法
①矩阵列数等于矩阵行数
②结果矩阵（c）的行数等于第一个（a）的行数 列数等于第二个矩阵的列数（b)
中间相等取两头 就是c的格式
eg A2×3 B3×4 结果矩阵就是2×4
矩阵不相乘不满足什么
ab≠ba （b或者a是单位矩阵的时候可以相等
ac＋bc＝c（a＋b）是错的 c应该在右边。
即＝（a＋b）c
结论：
（1）不满足交换律：① ab能相乘的时候ba不一定可以。毕竟要满足中间相等。
②即使ab ba都有意义 一般两个不相等
③如果ab＝ba 叫做ab是可交换的
（2）不满足消去律：若AB＝AC 且A≠0 推不出B＝C。（矩阵＝0可以是各种各样的）
但是A可逆的时候推得出 左右两边同乘A的-1次方 其积是单位矩阵 这时候B＝C
（3）④两个非0矩阵的乘积可能是零矩阵（所以AB＝0推不出A等于0或者B等于0.AB是矩阵）
但是B可逆的时候 可以推出A＝0
矩阵相乘满足：
（1）结合律：（AB）C＝A(BC)
（2）分配律：（A＋B）C＝AC＋BC
（3）k（AB）＝（kA）B＝A（kB）
(4)AE=A , EA=A
(5)A*0矩阵=0矩阵 , 0矩阵*A=0矩阵
(6)1*A=A ，0数字*A=0矩阵
（7）A=aE AB=aEB=aB
（8）对角型✖对角型=对角型（就主对角线有数字 相应数字相乘）
矩阵的初等变换
行/列：①交换两行 ②非0数乘以某一行 矩阵不变行列式变 ③某一行的l倍加到另一行上去
矩阵的标准型（任意矩阵都有标准型 可以不是方阵）：除了最上面那个 其他被杠掉的都不是标准型。标准型左上角就得是1 斜着连续的1。像第二行第二个全是0也可以。
伴随矩阵
①只有方阵有 但不是所有的方阵都有伴随矩阵
②按行求 按列放。（记得是代数余子式的转置
性质
①AA✳＝A✳A等于|A|E
