前言

        本文将给出开关电源Boost升压拓扑各个元件的应力（主要是电流应力），所有公式均经过我亲自推导并与参考书籍进行校对。本文仅提供结论，推导过程省略。

目录

1、占空比

2、电感各应力

    2.1 电感电流波形

    2.2 伏秒积

    2.3 电感电流纹波系数

    2.4 电感电流峰值

    2.5 电感电流有效值

    2.6 电感峰值能量

3、开关管各应力

    3.1 开关管电流波形

    3.2 开关管电流平均值

    3.3 开关管电流有效值

    3.4 开关管电压波形

    3.5 开关管电压峰值

4、二极管各应力

    4.1 二极管电流波形

    4.2 二极管电流平均值

    4.3 二极管电流有效值

    4.4 二极管电压波形

    4.5 二极管电压峰值

5、输入电容各应力

    5.1 输入电容电流波形

    5.2 输入电容电流有效值

    5.3 输入电压纹波峰峰值

6、输出电容各应力

    6.1 输出电容电流波形

    6.2 输出电容安秒积

    6.3 输出电容电流有效值

    6.4 输出电压纹波峰峰值

7、蜘蛛状应力曲线

 

正文

1、占空比

        在已知输入电压Vin和输出电压Vout的情况下，预估二极管压降VD和开关管压降VQ后，可近似计算开关的占空比D（Duty Cycle）。

        二极管压降VD的存在导致输出电压整体降低，降低了输出电压的下限（D = 0时Vout < Vin）；占空比的上限被拓扑约束至小于1（D < 1）并且该约束与VD和VQ是否存在均无关。将图1.1中的式子形式转换下得：

        无论VD和VQ（VQ < Vin）为多少，计算lim D→1均会得到Vout→∞，即D = 1时输出电压为无穷大。对于实际工程而言，令D = 1将会导致开关管迅速损坏，导致电路发生灾难性故障。

        当Vin和Vout可变时，输入电压最小、输出电压最大时占空比最大；输入电压最大、输出电压最小时占空比最小，即Dmax = D(Vin_min,Vout_max)，Dmin = D(Vin_max,Vout_min)。其随Vin和Vout的分布规律如下所示：

2、电感各应力

    2.1 电感电流波形

        电感为开关电源拓扑中的核心元件，其选用关乎整个电源的工作情况。在电源工作在连续导通模式（CCM）且处于稳态时，其电流波形如下：

        在开关管导通时，输入电压Vin全部施加到电感上（忽略VQ），由于Vin几乎固定，因此电感电流线性增加，电感开始储存能量；在开关管截止时，电感电压翻转，与输入电压叠加在一起将存储的能量和输入端的能量一并传送到输出端，由于Vout几乎固定，电感电流将线性减小，直到开关管重新导通。将该过程循环，最终电感电流稳定为带直流偏置的三角波。

        后续的公式推导将假设电源工作在连续导通模式（CCM），临界导通模式（BCM）和强制连续导通模式（FCCM）也可兼容，但断续导通模式（DCM）部分公式并不适用。

    2.2 伏秒积

        伏秒积V·t为电感承受电压与承受时间的乘积，相当于电感磁芯中变化的磁通量。

        伏秒积的大小与开关频率f（Hz）呈反比。由于电源的开关频率f往往很高，因此常使用“伏微秒积”替代，此时f单位应修改为MHz。伏秒积随Vin和Vout的分布规律如下图所示，其值将在输入和输出电压最大（Vin_max,Vout_max）的工况达到最大。

    2.3 电感电流纹波系数

        电感电流纹波系数r（ripple）定义为电感电流纹波峰峰值Ipp与电感电流的直流分量Idc的比值。不同于Buck拓扑中电感电流的直流分量等于输出电流（Idc = Io），Boost拓扑中电感电流的直流分量与占空比有关，为Idc = Io / (1-D)。

        式中L为电感元件的电感量，单位为H；若使用伏微秒积或频率f单位为MHz，则电感单位为μH。同样通过指定的r来计算出电源所需的电感值，推荐将r设置为0.4。当电源工作在CCM模式时，r的取值范围被限定在(0,2)；当r = 2时电源将进入BCM模式；若继续减小Idc或者增大V·t，在普通设计中由于二极管会阻止电流逆向流动，电源将进入DCM模式；在同步整流设计中（同步Boost）同步管允许电流逆向流动，电源将进入FCCM模式，此时r > 2。在Io最大时（电源满负荷），若Vin与Vout最大的工况D < 0.5，则r在Vin与Vout最大的工况达到最大，否则在D = 0.5的工况达到最大值，即r在min(D(Vin_max,Vout_max),0.5)的工况下最大。r随Vin和Vout的分布规律如下图所示：

    2.4 电感电流峰值

        电感电流峰值Ipk定义为电感电流直流分量Idc和交流分量Iac的加和，其中交流分量定义为纹波电流峰峰值Ipp的一半，即Iac = 1/2*Ipp。

        由于Boost拓扑中二极管与输出端串联，因此电感电流的直流分量Idc不等于输出电流Io，而是存在以下换算关系：Idc = Io / (1-D)。因此除非D很接近0，否则Idc会比Io大许多，设计者必须注意该问题以免选用额定电流过小的电感（不管是热额定还是磁额定）。电感必须能够承受电流峰值而不会发生磁芯饱和，否则开关管会被瞬间损坏。

        Ipk的分布规律与r大不相同，由于电流直流分量Idc会在D→1时急剧膨胀，纵使交流分量Iac在别的工况达到最大，但加和后峰值电流Ipk依然在最低输入电压和最大输出电压的情况（Vin_min,Vout_max）达到最大。因此与Buck相反，Boost的最恶劣输入电压为Vin_min，设计电源的电感时必须从最恶劣输入电压开始计算。

    2.5 电感电流有效值

        电感电流有效值Irms为电感电流波形的均方根。与Ipk相似，由于Idc贡献的有效值比Iac大得多，因此电感电流有效值也将在最低输入电压和最大输出电压的情况（Vin_min,Vout_max）达到最大。

    2.6 电感峰值能量

        电感存储的磁能定义为ε = 1/2*L*I²，当电流达到峰值Ipk时电感中存储的能量亦达到峰值εpk。使用r来替代L和Ipk得到的电感峰值能量表达式为：

        若将r设置为自变量，则电感峰值能量为一个对勾函数，其将在r = 2处取得最小值，r < 2或者r > 2均使得电感存储的磁能增加。选用很大的电感L看似降低了r和Ipk，实际上电感需要更大体积的磁芯来存储更多的能量ε。反之选用很小的电感L虽然降低了峰值能量，但加重了滤波电容的负担，并且过大的纹波对输出不利，因此电感值的选取是一个相互妥协的结果。

        相较于Buck拓扑，Boost拓扑的电感峰值能量计算式中还带有占空比D。可以明显看到，当D→1时，电感峰值能量ε将暴涨。

3、开关管各应力

    3.1 开关管电流波形

        开关管为开关电源拓扑中的控制元件，控制是否允许电流通过自身。因此开关管仅在导通期间有电流流过，在截止期间电流为0，其电流波形为电感电流的一半。

        其中开关管电流峰值IQ_pk等同于电感电流峰值Ipk。

 

    3.2 开关管电流平均值

        开关管电流平均值IQ_avg仅与电感电流直流分量Idc和占空比D有关。当开关管为BJT和IGBT时，开关管的饱和压降基本不变，因此计算开关管导通损耗应使用电流平均值。

        与Buck拓扑不同，Boost拓扑的开关管平均电流在D→1时IQ_avg→∞，其应力分布如下所示。当输入电压最低和输出电压最大时（Vin_min,Vout_max），电流平均值IQ_avg达到最大。

    3.3 开关管电流有效值

    开关管电流有效值IQ_rms除了与Idc和D有关外也与r有关。当开关管为MOSFET时，开关管压降与电流正相关，应使用电流的有效值计算开关管导通损耗。

        开关管电流有效值分布规律与平均值相似，虽然r在一定程度上会增大有效值，但远不及D→1时的增加量。

    3.4 开关管电压波形

        开关管导通时，开关管电压将接近0，但会有少许的导通压降；开关管截止时，SW节点电压会泵至Vout，开关管将承受比Vout稍高的电压。若电源工作在CCM、BCM、FCCM模式，电压将一直保持直到开关管重新导通；若电源工作在DCM模式，则SW节点电压会在开关管重新导通前因为电感能量释放完毕而下跌回Vin，此时开关管承受的电压为Vin。在下跌的过程中将引发寄生振荡，寄生振荡将逐渐收敛，或在开关管重新导通前结束振荡，或被开关管重新导通而被强制停止，其结果取决于实际设计。

    3.5 开关管电压峰值

        对于Boost拓扑，开关管电压的峰值比Vout稍大，可近似等于Vout，数学表达式为Vout_max + VD。与电感类似，必须保证电压峰值不得超过开关管的额定电压，否则开关管将立即损坏。

4、二极管各应力

    4.1 二极管电流波形

        二极管在开关拓扑中充当续流元件，由于电感电流不能突变，当开关管截止时电流必须寻找另一条续流路径，因此二极管电流波形为电感电流的另一半。而开关管导通时二极管截止，其流过的电流为0。

        其中二极管电流峰值ID_pk等同于电感峰值电流Ipk。

 

    4.2 二极管电流平均值

        由于在Boost拓扑中二极管与输出端串联，因此二极管电流平均值ID_avg等于平均输出电流Io。因为二极管的正向导通压降几乎不随电流改变，所以应使用二极管电流平均值计算二极管导通损耗。

        由于平均输出电流Io只根外部负载有关，因此在恒定Io的情况下，二极管电流平均值跟输入电压Vin和输出电压Vout均无关系。

    4.3 二极管电流有效值

        在Boost拓扑中，当D→1时，二极管电流波形将逐渐变成持续时间极短但幅值极高的电流脉冲。由于峰值的电流会比谷值的电流贡献更大的有效值，因此二极管电流有效值ID_rms与D强烈相关，r对有效值的贡献反而不是主要。当使用同步整流拓扑时（同步Boost），二极管被MOSFET取代，因此需要使用二极管电流有效值计算同步管损耗。

        由于有效值与峰值正相关，因此二极管电流有效值随Vin和Vout的分布规律与Ipk相似。

    4.4 二极管电压波形

        开关管导通时，二极管将承受输出电压Vout幅值的反向电压；开关管截止时，二极管电压接近0，但会有少许的导通压降。若电源工作在CCM、BCM、FCCM模式，二极管将一直导通直到下一个周期开始；若电源工作在DCM模式，二极管将提前截止并开始承受反向并且带有寄生振荡的电压。因为规定二极管导通方向为正向，所以下图中二极管承受的反向电压为负数。

    4.5 二极管电压峰值

        对于Boost拓扑，二极管承受的反向电压峰值为-(Vout_max - VQ)。与电感、开关管类似，必须保证反向电压峰值不得超过二极管的反向耐压，否则二极管将立即损坏。

5、输入电容各应力

    5.1 输入电容电流波形

        由于Boost拓扑中电感连接在输入端，因此平均输入电流等于电感电流直流分量Idc，而交流分量则被输入电容旁路。所以输入电容电流波形为去除了直流分量的三角波。

        输入电容电流峰值为交流纹波峰峰值的一半，即ICin_pk = 1/2*Ipp = Iac。

 

    5.2 输入电容电流有效值

        由于输入电容需要反复充放电，因此需要能够承受输入电容电流有效值ICin_rms。

        由于输入电容只承担输入电流的交流分量，因此其随Vin和Vout的分布规律与伏秒积相同。

    5.3 输入电压纹波峰峰值

        输入电容的反复充放电将导致输入电压有小幅度的纹波，纹波的变化幅度定义为输入电压纹波峰峰值Vin_pp。其中基于输出电容充放电分量和输出电容ESR分量的计算如下：

        可以看出Vin_pp与输入电容容量Cin和开关频率f呈反比关系，与电容ESR呈正比关系，当规定了Vin_pp的大小后（一般要求Vin_pp < 1%*Vo）也就规定了Cin的下限和ESR的上限。一般而言两种分量并非同时达到最大值，最终的Vin_pp并非两者峰值的叠加，而是两者峰值中的最大值（以实际叠加效果为准）。

        由于两个分量均与Ipp有关，因此输入电压纹波峰峰值随Vin和Vout的分布规律主要和伏秒积相似。

6、输出电容各应力

    6.1 输出电容电流波形

        当开关管导通时，二极管因电压反偏而截止，此时输出端无法获得电流和能量供应，只能向输出电容索取。当开关管截止时，导通期间电感所蓄的能量会突然冲向输出端，此时输出端获得的电流和能量是过剩的，必须由输出电容吸收过剩的电流和能量。因此在Boost拓扑中，输出电容与电感一样每周期进行大幅的能量充放，其电流波形如下所示：

       输出电容电流峰值ICout_pk比二极管电流峰值ID_pk小，为ICout_pk = ID_pk-Io。峰峰值ICout_pp为ID_pk。

    6.2 输出电容安秒积

        安秒积A·t为电容承受电流与承受时间的乘积，相当于计算电容内变化的电荷量。

        安秒积的大小除了与开关频率f呈反比以及和输出电流Io呈正比外，与占空比D呈正比，其规律与Buck拓扑的二次函数关系大不相同，当D→1时输出电容将获得最大的安秒积。同样可以使用安微秒积替代安秒积以避免过小的数值。

    6.3 输出电容电流有效值

        输出电容在开关周期内进行大幅度充放电，因此必须保证电容能够承受输出电容电流有效值ICout_rms。

        同样通过计算式可知，当D→1时，输出电容的有效值电流将趋于无穷大（ICout_rms→∞）。其随Vin和Vout的分布规律如下所示。

    6.4 输出电压纹波峰峰值

        由于输出电容进行剧烈充放电，其输出电压将会产生较强的输出电压纹波峰峰值Vout_pp。其基于电容充放电分量分量和输出电容ESR分量的计算如下：

        最终体现的电压纹波为两个分量的叠加，由于两个分量一者达到极值时另一者并非极值，因此最终的Vout_pp介于两者叠加与相消之间。

        由于大多数情况下纹波的ESR分量比充放电分量大，所以输出电压纹波峰峰值随Vin和Vout的分布规律主要和Ipk相似。

7、蜘蛛状应力曲线

        为了简化问题分析，先假设选取的电感L较大使得电流纹波系数r的值较小，不再是应力的主要影响因素；然后选取占空比作为自变量，将Vin和Vout两个自变量降为一个。对于Boost拓扑中的五个关键元件，可绘制出其随占空比变化的应力曲线，反映出元件主要电流应力随占空比的变化。图中曲线在D = 0.5处进行归一化处理，得出其蜘蛛状应力曲线（虽然样子并不像蜘蛛，只是沿用Buck拓扑的应力曲线命名）。仅反映变化趋势，不代表相对和绝对大小。

    图7.1中共有7种曲线，若改用表格展示如下（仅反映变化趋势，不代表相对和绝对大小）。

后记

        在推导Buck拓扑各元件应力公式半年之后，吾终于有空对剩下两种拓扑的各元件应力公式进行推导补齐。其中Boost拓扑为Buck拓扑的镜像，而Buck-Boost拓扑很多地方与Boost拓扑相似，欢迎读者品味并发现公式的规律。

参考书籍：[美]Sanjaya Maniktala 著, 王建强等 译. 精通开关电源设计[M]. 中国工信出版集团, 人民邮电出版社；

使用MATLAB绘制图像。

 

by HD-nuke8800

编写完成于： 2023/06/28