波动方程（2）

初边值问题的分离变量法

从上一章的例题可以看出，方程具有初边值后解决时会更加困难，所以下面我们具体考察具有初边值条件的偏微分方程问题：

继续使用叠加原理转换成：

很显然，最终的解即为：

对于方程2，我们可以从物理方面先来理解，其代表的是一段两端固定的弦的振动，而复杂的弦振动往往可以分解成一系列简单振动的叠加，对于每种简单振动，我们可以发现可以将时间t和位移x分离出来，即如下形式：

再将一系列简单振动的解叠加就得到我们需要的解

所以对于方程2:

我们利用分离变量的方法来解出其解的模式，做法如下：

化作了我们熟知的常微分方程，之后就是分类讨论：

此时需注意，得到的解是级数的形式，那么我们需要重点关注收敛问题，那么有如下的lemma：

证明如下：

证明不难，但用到了许多关于傅立叶的知识，我准备在傅里叶分析中详细整理。

由此lemma，我们很容易得到如下定理：

接下来简单介绍解的物理意义：

接下来来看一个例题：

我们很容易写出初值条件：

解法如下：

很容易发现，题目中的初值条件并不满足定理3.1，那么我们解出来的是什么呢，实际上我们有：

现在我们来看非齐次方程的情形：

与上一章完全类似，我们依旧采用齐次化原理：

其后续做法也类似：

最后更复杂的是如果边界条件不齐次，我们又该如何下手，即：

思路也很简单，我们要将非齐次转化为齐次：