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第三章 多维随机变量及其分布

& 1 二维随机变量

概念：

• 二维随机向量或二维随机变量：一般，设E是一个随机试验，它的样本空间是S={e}，设X=X{e}和Y=Y{e}是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个向量(X,Y)，叫做二维随机向量或二维随机变量。

• 分布函数或联合分布函数：设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x，y，二元函数
  

    ——称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。

• 离散型的随机变量：如果二维随机变量(X,Y)全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，则称(X,Y)是离散型的随机变量——

  设二维离散随机变量(X,Y)所有可能取的值为(xi,yi)，i,j=1,2,...，记P={X=xi,Y=yi}=pij，i,j=1,2,...，则由概率的定义有
  

• 二维离散型随机变量的分布律或联合分布律：我们称P={X=xi,Y=yi}=pij，i,j=1,2,...，为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或称为随机变量X和Y的联合分布律。

• 连续型的二维随机变量：与一维随机变量相似，对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)，如果存在非负可积函数f(x,y)使对于任意x,y有

    ——则称(X,Y)是连续型的二维随机变量。

• 二维连续型随机变量的概率密度或联合概率密度：函数f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度，或称为随机变量X和Y的联合概率密度。

• n维随机变量：一般，设E是一个随机试验，它的样本空间是S={e}，设X1=X1(e),X2=X2(e),...,Xn=Xn(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个n维向量(X1,X2,...,Xn)叫做n维随机向量或n维随机变量。

• n维离散型随机变量的分布函数或联合分布函数：对于n个实数x1,x2,...,xn，n元函数

    ——称为n维随机变量(X1,X2,...,Xn)的分布函数或随机变量X1,X2,...,Xn的联合分布函数。

分布函数F(x,y)的基本性质：

概率密度f(x,y)具有以下性质：