前言：

看了优秀作者@乐正垂星做的一期视频弯曲的空间长什么样？，便产生了对数学知识的无比震撼！之前我胡思乱想写过一篇文章“蚂蚁”曲线引发的探索不知觉地就沾上边了hhh~自卖自夸一波，我瞬间对自己学好数学这门基础学科(的皮毛)充满了信心！

好了不扯太多无关的了~

ps:另外，由于b站专栏机制限制图片只能发100张，而用LaTeX输入的公式也属于图片范畴。因此为了将此篇文章写完，一些字符非必要不用LaTex码，可能会影响观感...

正文：

先来到视频01:57处提及的"双极坐标"

我们考虑从直角坐标入手转化为上述坐标

选基准点为A(a,0),B(-a,0)，分别过其做方向角为α,β的直线，那么其交点就可以通过联立直线方程解出了：

于是标色部分其实就是两坐标间的转化关系。也就是说，如果我们知道了两直线方向角，那么就可以代入上式求出x和y，这也就完成了(α,β)→(x,y)的映射(也即由该坐标系向平面直角坐标系转化的桥梁)

这个转化关系非常重要，后面还会再提及~

然后到了视频02:15处

“不把坐标系画标准”这句话富有内涵！需要观众们反复斟酌的。

意思就是：只有标准的坐标系才可以直接使用勾股定理以及其他我们所学的平面几何知识。这个放后文再讲~

ps:视频后面其实也提到了“每个空间都有它自己的勾股定理”，乍一听有些别扭，但其实跟这句话是相照应的，也恰好符合上文中我对其的翻译(标大部分)

我们可以暂时先放掉这两句听着略带别扭又富含深意的话。感兴趣者可以先换种思路，尝试着按下文中笔者的理解或许也能给部分读者助解：

也就是同一函数在不同坐标系中的画法不同

就以视频02:45处为例，在(左图)极坐标系中画出点相连的线段，我们需要求出该线段的极坐标方程

若对其性质了解熟悉，可以直接在原图根据几何关系求出

作线段的垂线，由于线段端点到原点距离相等(均为4)，因此两端点与原点构成等腰三角形

那么根据"三线合一"可求出垂线段长为4cos60°=2，垂足对于的极角为-30°+60°=30°

从而确定垂足的点坐标：

于是从开始，逆时针旋转φ，则对应的极径变为2secφ

顺时针旋转同理

再根据线段端点可确定旋转范围：

则极角范围：

线段对于极坐标方程：

即

如果不熟悉极坐标性质，那就得兜个圈子。可以先从直角坐标入手写出方程，再转化为极坐标方程

根据转化关系可完成(ρ,θ)→(x,y)的映射(即将极坐标化为直角坐标)

两线段端点转化到直角坐标表示为：

写出其直线方程为：

根据转化关系得：

整理即得：

ps:化简需用到辅助角公式

再限制极角范围即得线段的极坐标方程

由此可以说明，函数在极坐标系中的图像是一条线段

这里的自变量是θ，因变量是ρ，阐述的是ρ随θ的变化关系(直观而言：自变量增大则对应逆时针旋转，其阐述的是逆时针旋转过程中点到原点(有向)距离的变化)

ps:之所以说“有向距离”是因为ρ也可以取负值，此时相当于沿着θ反方向走，这些概念在初学时应该都有提及，这里就不多赘述了

而如果函数在直角坐标系中的图像又是如何呢？

其对应的是正割函数(当然是由y=secx经过平移和拉伸得到的)的一段

在直角坐标系中，这里的自变量是x，因变量是y，阐述的是y随x的变化关系(直观而言：自变量增大则对应向右平移，其阐述的是向右平移过程中点到y轴(有向)距离的变化)

这也就是笔者在前文所说的“同一函数在不同坐标系中的画法不同”，换而言之，对于同一函数而言，在不同的坐标系中会以不同的样貌展现。

怎样？笔者的这个理解门槛是不是低一些呢？

再来看到视频02:57处

考虑写出极坐标下直线的一般方程

先写出直角坐标下直线的一般方程：Ax+By+C=0

化为极坐标方程，即：Aρcosθ+Bρsinθ+C=0

整理得：

说明函数在极坐标系中的图像是一条直线

那么函数在直角坐标系中的图像是怎么样的呢？

根前面的情况类似，也是经过平移和伸缩变换的正割函数

当直线在极坐标中上下平移时，就是参数C在改变；而在直角坐标系中，C的改变就是对应沿y轴方向的拉伸了。

我们前面说过了，同一函数而言，在不同的坐标系中会以不同的样貌展现。

那么上面的这个现象又说明了什么呢？改变参数会使函数在不同坐标系中也会以不同姿态进行变换。

就如上面这个函数而言，改变参数C，其在极坐标系中的图像会上下平移，而其在直角坐标系中的图像会纵向伸缩。

还有很多这样的例子，比如直角坐标系中，函数y=f(x)到y=f(x-a)，可视为将函数图像向右平移了a个单位；

而极坐标系中，函数ρ=f(θ)到ρ=f(θ-a)，可视为将函数图像逆时针旋转a弧度个单位

好了，笔者写这篇专栏是间断着些的，中间停留了一段时间导致思路出现不太流畅，不过检查了一遍发现问题不大，就是没衔接太好，因此这里再补充几点叙述：

上文花了很多笔墨，其实关键是想表明：同一函数在不同的坐标系中会以不同的样貌展现

就如y=secx在平面直角坐标系中是正割函数：

其自变量是x，因变量是y

而ρ=secθ在极坐标系中是一条直线：

其自变量是θ，因变量是ρ

上述这两种坐标系都是标准的(前面提及的全部都是标准的坐标系)

那么什么是不标准的坐标系呢？通俗一点讲，就是“使用的坐标系和真实的坐标系不一致”

比如说我要画的图像，本应该画在极坐标系中(真实的坐标系)，但我硬生生地用直角坐标系(使用的坐标系)画出来

使用的坐标系画出来是这样：

自变量是θ，因变量是ρ，但是是硬生生地用直角坐标画的，因此是“不标准的坐标系”

好了，现在我要求这条曲线从点到点的弧长

说是求弧长，但由于这是非标准的坐标系，因此不能使用直接求坐标系中的那段弧长

因为这不是真实的坐标系，也就是说言下之意就是画出标准的极坐标系，再求从处的点到处的点间的弧长：

如图橙色线才是真实的弧长

两端点的极坐标：

化为直角坐标得：

用勾股定理求得长度为：

ps:这里化为了标准的坐标系才可使用勾股定理

另外，这题比较特殊，因为我们提前知道了这条曲线长什么样，那如果不知道这条曲线张什么样，那就套极坐标下的弧长公式：

证明的话在视频的07:22处也提到了

这是标准的极坐标系，因此才可使用勾股定理

由于微元极小，因此以直代曲rdθ近似为直线，由勾股定理有：

于是弧长为：

然后是到了视频04:43部分

我们解释了什么叫非标准的坐标系，也就是使用的坐标系并不是实际的坐标系，因此也就可以解释这里的这个问题了：

左边的这幅图是标准的直角坐标系，图示的直线方程为：

直角坐标系中要求曲线长度，同样是以直代曲

那么弧微分即

于是

ps:当然，这里刚好是直线，因此直接使用勾股定理更方便。这里采用弧微分显得有些小题大做，但针对的是曲线为一般表达式的情况

而右边这幅图就不是标准的坐标系了，我使用的是直角坐标系，但其实想表达的真实的坐标系却是极坐标系，因此我们需要把真实的坐标系还原回去

表达式：

其在真实的极坐标系中是如上的一段曲线

因此采用极坐标下的弧长公式：(前文已经推导过)

于是曲线长为：

经计算机验算，结果与视频中的数字一致

然后到了视频05:12处，

想必读者们对世界地图都不陌生，这就是个典例

左边是真实的球面，而右边的却是硬生生画成的平面。

坐标的坐标系可用空间直角坐标系或广义球坐标系表示，而右边是用直角坐标表示

也即世界地图是使用的直角坐标系(右边)，而真实的坐标系却是空间直角坐标系/球坐标系

另外，球面几何是非欧几何，也就是不能展开为平面的。

3b1b也做过一期视频阐述，感兴趣者可参考：

【官方双语】直观视觉（伪）证明三例

然后到了视频06:07开始提到的线元

直角坐标系和极坐标系的线元视频中提及了，文章前面也带读者证明过了一遍。

这两组等式，分别都可以直接在图中通过微元以取代直后使用勾股定理得到

而如果针对的是一般情况，也就是真实的坐标系不知道如何画，该怎么办呢？

ps:能直接推当然最好，而以下的流程是针对一般的难以凭想象画出的复杂的坐标系

比如如果不知道极坐标怎么画，那么可以通过直角坐标，利用转化关系进行替换得到

这里就用到开头提及的“转化关系”了

我们知道极坐标与直角坐标的转化关系：

于是有：

则

再来推导单位球的线元：(视频07:36)

取球坐标的参数方程：

这其实也可视为硬画的直角坐标与球坐标之间的转化关系

ps:(x,y,z)在真实的空间直角坐标系(视为地球仪)，而(θ,φ)在硬画的直角坐标系中(视为世界地图)

则在真实的空间直角坐标系中，通过弧微分以直代曲后使用勾股定理：

其中

代入上式整理得：

ps:细心的读者会注意到视频中后面一项是sin²θ，那就是笔者和up主选取的参数方程不同，up主选取的参数方程就是

再来看到抛物面的线元

真实的坐标系就是空间直角坐标系，通过弧微分以直代曲后使用勾股定理：

其中

于是

通过上述几个例子，可以得知：

当坐标系标准时，线元可直接使用勾股定理；

而当坐标系不标准时，线元需要转化到标准时再利用勾股定理求之

比如标准的直角坐标系中，(二维)，(三维)

标准的极坐标系中，

标准的球坐标系中，(具体得看参数角的方位)

而如果我给你的是一个平面直角坐标系，单告诉你它的线元却是

这说明我使用的是平面直角坐标系(不标准的)，但真实的坐标系却是极坐标系(标准的)，因此线元这一微分式的意义在于说明使用的平面直角坐标系是否标准(比如二维而言，若线元不是则说明坐标系不标准)同时也间接指定了真实的空间的性质。(尽管对于复杂的线元式我们难以直接画出其空间)

总结：

也没太多好总结的，毕竟自己也是半桶水罢了(

主要是先阐述了“同一函数在不同坐标系中的画法不同”，其根本原因是自变量和因变量在各个坐标系中代表的意义不同。比如平面直角坐标系中的x,y和极坐标系中ρ,θ代表的意义不同

就以常数函数y=1为例。在平面直角坐标系中，其为一条水平的直线，其代表的意义是随着x增大"向右运动",y值始终不变(与x轴的有向距离始终不变)

而常数函数ρ=1，在极坐标系中，其为一个单位圆，其代表的意义是随着θ增大"逆时针旋转",ρ值始终不变(与原点的有向距离始终不变)

为了阐述清楚因此就又举了上面一个例子了

然后是提及了(标准的)平面直角坐标系/空间直角坐标系/极坐标系/球坐标系中线元的推导。

具体的在前文也已经归纳过：

最后是提及了坐标系是否标准的问题。可以通过看线元表达式来判断其是否标准。比如平面直角坐标系中，只有当线元为才标准，其余的情况说明：这个坐标系是不标准的，而线元也间接反应了真实标准的空间的性质。

这一点皮毛都足以让笔者如痴如醉，足以反映数学无穷无尽的魅力~期待着未来去探寻更多微分几何的奥妙~