反三角函数的微分过程 ArcSin(x)和ArcCos(x)|徐奥雯

2021-12-15 02:41 作者:徐奥雯XuAowen_利贝塔斯 0人读过 | 我要投稿

ArcSin(x)的微分

求

$%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%20%5B%5Carcsin(x)%5D$

也就是求 $y%20%3D%20%5Csin%5E%7B-1%7D(x)%20$ 的微分

我们把式子写为

$%5Csin%20(y)%20%3D%20x$

将等式两边同时微分

$%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%20%5B%5Csin(y)%5D%3D%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%20%5Bx%5D$

对左侧使用链式求导法则

$%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdy%7D%20%5B%5Csin(y)%5D%5Ccdot%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%20%5By%5D%3D1$

$%5Ccos(y)%5Ccdot%20%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%20%3D1$

提出dy/dx

$%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%5Ccos(y)%20%7D%7D%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20$

根据毕达哥拉斯定理

$%5Csin%5E2(%5Calpha%20)%2B%5Ccos%5E2(%5Calpha%20)%3D1$

所以

$%5Ccos%5E2(%5Calpha%20)%3D1-%5Csin%5E2(%5Calpha%20)$

两边同时开方

$%5Ccos(%5Calpha%20)%3D%20%5Csqrt%7B1-%5Csin%5E2(%5Calpha%20)%7D%20%20$

用这个结果的cos(α)替换 $%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%5Ccos(y)%7D%7D%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20$ 中的cos(y)得到

$%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1-%5Csin%5E2(y)%7D%20%7D%20%20%20%20%20%20%20%20%20$

因为sin(y)=x,替换上式中的分母,得到

$%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%20%7D%20%20%20%20%20$

所以

$%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%5B%5Carcsin(x)%5D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%20%7D%20%20%20%20%20$

其中 -1<x<1

ArcCos(x)的微分

求

$%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%20%5B%5Carccos(x)%5D$

也就是求 $y%20%3D%20%5Ccos%5E%7B-1%7D(x)%20$ 的微分

我们把式子写为

$%5Ccos%20(y)%20%3D%20x$

将等式两边同时微分

$%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%20%5B%5Ccos(y)%5D%3D%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%20%5Bx%5D$

对左侧使用链式求导法则

$%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdy%7D%20%5B%5Ccos(y)%5D%5Ccdot%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%20%5By%5D%3D1$

$-%5Csin(y)%5Ccdot%20%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%20%3D1$

提出dy/dx

$%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%20%3D%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%5Csin(y)%20%7D%7D%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20$

根据毕达哥拉斯定理

$%5Csin%5E2(%5Calpha%20)%2B%5Ccos%5E2(%5Calpha%20)%3D1$

所以

$%5Csin%5E2(%5Calpha%20)%3D1-%5Ccos%5E2(%5Calpha%20)$

两边同时开方

$%5Csin(%5Calpha%20)%3D%20%5Csqrt%7B1-%5Ccos%5E2(%5Calpha%20)%7D%20%20$

用这个结果的sin(α)替换 $%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%20%3D-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%5Csin(y)%7D%7D%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20$ 中的sin(y)得到

$%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%20%3D-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1-%5Ccos%5E2(y)%7D%20%7D%20%20%20%20%20%20%20%20%20$

因为cos(y)=x,替换上式中的分母,得到

$%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%20%3D%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%20%7D%20%20%20%20%20$

所以

$%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%5B%5Carccos(x)%5D%20%3D%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%20%7D%20%20%20%20%20$

其中 -1<x<1

标签：数学三角函数微积分微分

反三角函数的微分过程 ArcSin(x)和ArcCos(x)|徐奥雯

ArcSin(x)的微分

ArcCos(x)的微分