2023浙江大学强基数学逐题解析（3）

2023-06-20 00:12 作者:CHN_ZCY 0人读过 | 我要投稿

封面：空堀日奈（《蔚蓝档案》）

5. 已知 $x%2Cy%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BN%7D%5E*$ ，且 $x%2Cy%20%5Cin%20%5Cleft%5B1%2C1897%5Cright%5D$ ，且 $%5Clfloor%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7By%7D%5Crfloor%2B1$ 为 $x$ 的倍数，则整数对 $%5Cleft(x%2Cy%5Cright)$ 的个数为

A. 2898

B. 3793

C. 4686

D. 5133

答案 B

解析

由于 $x%5Cmid%20%5Clfloor%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7By%7D%5Crfloor%20%2B1$ ，所以 $x%5Cmid%20y%5Cleft(%5Clfloor%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7By%7D%5Crfloor%20%2B1%5Cright)$ .

而 $x%5E2%3Dy%5Cleft(%5Clfloor%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7By%7D%5Crfloor%2B%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7By%7D%5Cright%5C%7D%5Cright)$ ， $x%5Cmid%20x%5E2$ ，所以 $x%5Cmid%20y%5Cleft(%5Clfloor%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7By%7D%5Crfloor%2B%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7By%7D%5Cright%5C%7D%5Cright)$ .

所以 $x%5Cmid%20y%5Cleft(1-%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7By%7D%5Cright%5C%7D%5Cright)$ .

由于 $y%5Cleft(1-%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7By%7D%5Cright%5C%7D%5Cright)%3E0$ ，所以 $x%5Cleq%20y%5Cleft(1-%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7By%7D%5Cright%5C%7D%5Cright)%5Cleq%20y$ .

(1) 若 $x%3D1$ ， $y%3D1%2C2%2C3%2C%5Ccdots%2C1897$ 均符合题意，得到1897个符合题意的 $%5Cleft(x%2Cy%5Cright)$ .

(2) 若 $x%5Cgeq2$ ，

$%5Clfloor%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7By%7D%5Crfloor%2B1%5Cleq%20%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7By%7D%2B1%20%5Cleq%20x%2B1%20%3C2x$

由于 $x%5Cmid%20%5Clfloor%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7By%7D%5Crfloor%20%2B1$ ，所以 $%5Clfloor%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7By%7D%5Crfloor%2B1%3Dx$ .

即

$%5Clfloor%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7By%7D%5Crfloor%3Dx-1%5CLeftrightarrow%20x-1%5Cleq%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7By%7D%3Cx%20%5CLeftrightarrow%20x%3Cy%5Cleq%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Bx-1%7D$

当 $x%3D2$ 时，上式即 $2%3Cy%5Cleq%204$ ，即 $y%3D3%E6%88%964$ ，得到2个符合题意的 $%5Cleft(x%2Cy%5Cright)$ .

当 $x%5Cgeq3$ 时，

$x%2B1%3C%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Bx-1%7D%3Dx%2B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx-1%7D%3Cx%2B2$

所以

$x%3Cy%5Cleq%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Bx-1%7D%20%5CLeftrightarrow%20x%3Cy%5Cleq%20x%2B1%20%5CLeftrightarrow%20y%3Dx%2B1$

得到1894个符合题意的 $%5Cleft(x%2Cy%5Cright)$ .

综上，整数对 $%5Cleft(x%2Cy%5Cright)$ 的个数为

$1897%2B2%2B1894%3D3793$

故选：B.

6. 四边形 $ABCD$ 外切于圆 $O$ ，过 $O$ 的直线交 $AB%2CCD%2CAC%2CBD$ 于 $K%2CL%2CM%2CN$ ，且 $%5Cangle%20BKL%3D%5Cangle%20CLK$ ， $AM%3D1%2CMC%3D2%2CBN%3D3$ ，则 $ND%3D$ ___________.

答案 6

解析

连结 $OB$ ， $OC$ .

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%5Cangle%20OCL%2B%5Cangle%20OBK%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft(%5Cangle%20BCD%20%2B%20%5Cangle%20ABC%5Cright)%5C%5C%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cleft(2%5Cpi-%5Cangle%20BKL%20-%20%5Cangle%20CLK%5Cright)%5C%5C%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft(2%5Cpi-2%5Cangle%20BKL%5Cright)%5C%5C%26%3D%5Cpi-%5Cangle%20BKL%5C%5C%26%3D%5Cangle%20OBK%2B%5Cangle%20BOK%0A%5Cend%7Baligned%7D$

即 $%5Cangle%20OCL%3D%5Cangle%20BOK$ .

由于 $%5Cangle%20CLK%3D%5Cangle%20BKL$ ，所以 $%5Ctriangle%20OCL%20%5Cbacksim%20%5Ctriangle%20BOK$ .

所以 $%5Cfrac%7BCL%7D%7BOK%7D%3D%5Cfrac%7BOL%7D%7BBK%7D$ ，即 $CL%5Ccdot%20BK%3DOL%5Ccdot%20OK$ .

同理 $DL%5Ccdot%20AK%3DOL%5Ccdot%20OK$ .

所以 $CL%5Ccdot%20BK%3DDL%5Ccdot%20AK$ .

由正弦定理

$%5Cfrac%7BMC%7D%7BCL%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csin%20%5Cangle%20CLK%7D%7B%5Csin%20%5Cangle%20CML%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csin%5Cangle%20AKL%7D%7B%5Csin%5Cangle%20AMK%7D%3D%5Cfrac%7BAM%7D%7BAK%7D$

$%5Cfrac%7BBN%7D%7BBK%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csin%20%5Cangle%20BKL%7D%7B%5Csin%20%5Cangle%20BNK%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csin%5Cangle%20DLK%7D%7B%5Csin%5Cangle%20DNL%7D%3D%5Cfrac%7BND%7D%7BDL%7D$

所以 $MC%5Ccdot%20BN%3DAM%5Ccdot%20ND$ .

所以 $ND%3D%5Cfrac%7BMC%5Ccdot%20BN%7D%7BAM%7D%3D6$ .

7. 已知正整数 $m$ 满足：对任意等差数列 $%5Cleft%5C%7Ba_n%5Cright%5C%7D$ ，若 $a_1%2B2a_2%2B3a_3%2B%5Ccdots%2Bma_m$ 为有理数，则数列 $%5Cleft%5C%7Ba_n%5Cright%5C%7D$ 中至少有一个有理数，则 $m$ 可以为

A. 6

B. 8

C. 10

D. 12

答案 C

解析

设 $a_n%3DAn%2BB$ ，则 $na_n%3DAn%5E2%2BBn$ .

所以

$a_1%2B2a_2%2B3a_3%2B%5Ccdots%2Bma_m%3D%5Cfrac%7BAm%5Cleft(m%2B1%5Cright)%5Cleft(2m%2B1%5Cright)%7D%7B6%7D%2B%5Cfrac%7BBm%5Cleft(m%2B1%5Cright)%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7Bm%5Cleft(m%2B1%5Cright)%7D%7B2%7D%5Cleft%5B%5Cfrac%7BA%5Cleft(2m%2B1%5Cright)%7D%7B3%7D%2BB%5Cright%5D$

为有理数，等价于 $%5Cfrac%7BA%5Cleft(2m%2B1%5Cright)%7D%7B3%7D%2BB%5Cin%20%5Cmathbb%7BQ%7D$ .

若 $m%3D3k%2B1%5Cleft(k%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5Cright)$ ，则 $%5Cfrac%7B2m%2B1%7D%7B3%7D%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*$ ，所以 $a_%7B%5Cfrac%7B2m%2B1%7D%7B3%7D%7D%5Cin%20%5Cmathbb%7BQ%7D$ .

则数列 $%5Cleft%5C%7Ba_n%5Cright%5C%7D$ 中至少有一个有理数，所以 $m%3D3k%2B1%5Cleft(k%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5Cright)$ 符合题意.

若 $m%5Cneq%203k%2B1%5Cleft(k%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5Cright)$ ，存在无理数 $A$ 和无理数 $B$ 使得 $%5Cfrac%7BA%5Cleft(2m%2B1%5Cright)%7D%7B3%7D%2BB%5Cin%20%5Cmathbb%7BQ%7D$ .

此时，由于 $%5Cforall%20n%5Cin%20%5Cmathbb%7BN%7D%5E*%2Cn-%5Cfrac%7B2m%2B1%7D%7B3%7D$ 为非零的有理数，所以

$%5Cforall%20n%5Cin%20%5Cmathbb%7BN%7D%5E*%2Ca_n%3D%5Cfrac%7BA%5Cleft(2m%2B1%5Cright)%7D%7B3%7D%2BB%2BA%5Cleft%5Bn-%5Cfrac%7B%5Cleft(2m%2B1%5Cright)%7D%7B3%7D%5Cright%5D%20%5Cnotin%20%5Cmathbb%7BQ%7D$

则此时 $%5Cleft%5C%7Ba_n%5Cright%5C%7D$ 中不存在有理数，所以 $m%5Cneq%203k%2B1%5Cleft(k%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5Cright)$ 不符合题意.

综上， $m%3D3k%2B1%5Cleft(k%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5Cright)$ .

选项中A、B、D均不符合题意，C符合题意.

故选：C.

8. 已知正 $n$ 边形顶点中任取3点，构成钝角三角形的概率为 $%5Cfrac%7B93%7D%7B125%7D$ ，则 $n$ 的所有可能值的和为___________.

答案 503

解析

(1) 若 $n%3D2k%5Cleft(k%5Cgeq2%2Ck%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*%5Cright)$ ，设各顶点为 $A_1%2CA_2%2C%5Ccdots%2CA_%7B2k%7D$ .

先取 $A_1$ 为该三角形的钝角顶点，则直径 $A_1A_%7Bk%2B1%7D$ 将圆分成两部分.

则该三角形的另外2个顶点分别位于这两个部分.

若其中一个顶点为 $A_s%5Cleft(2%5Cleq%20s%5Cleq%20k%5Cright)$ ，则另一个顶点为 $A_t%5Cleft(s%2Bk%2B1%5Cleq%20t%20%5Cleq%202k%5Cright)$ .

所以任取3点构成的钝角三角形的总数为

$2k%5Csum_%7Bs%3D2%7D%5Ek%20%7B%5Cleft(k-s%5Cright)%7D%20%3Dk%5Cleft(k-1%5Cright)%5Cleft(k-2%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7Dn%5Cleft(n-2%5Cright)%5Cleft(n-4%5Cright)$

任取3点构成三角形的总数为

$%5Cmathrm%7BC%7D_n%5E3%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7Dn%5Cleft(n-1%5Cright)%5Cleft(n-2%5Cright)$

任取3点构成的钝角三角形的概率为

$%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7Dn%5Cleft(n-2%5Cright)%5Cleft(n-4%5Cright)%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7Dn%5Cleft(n-1%5Cright)%5Cleft(n-2%5Cright)%7D%3D%5Cfrac%7B3n-12%7D%7B4n-4%7D%3D%5Cfrac%7B93%7D%7B125%7D$

得 $n%3D376$ ，符合题意.

(2) 若 $n%3D2k%2B1%5Cleft(k%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*%5Cright)$ ，设各顶点为 $A_1%2CA_2%2C%5Ccdots%2CA_%7B2k%2B1%7D$ .

先取 $A_1$ 为该三角形的钝角顶点，则过 $A_1$ 直径的将圆分成两部分.

则该三角形的另外2个顶点分别位于这两个部分.

若其中一个顶点为 $A_s%5Cleft(2%5Cleq%20s%5Cleq%20k%2B1%5Cright)$ ，则另一个顶点为 $A_t%5Cleft(s%2Bk%2B1%5Cleq%20t%20%5Cleq%202k%2B1%5Cright)$ .

所以任取3点构成的钝角三角形的总数为

$%5Cleft(2k%2B1%5Cright)%5Csum_%7Bs%3D2%7D%5E%7Bk%2B1%7D%20%7B%5Cleft(k-s%2B1%5Cright)%7D%20%3D%5Cfrac%7Bk%5Cleft(k-1%5Cright)%5Cleft(2k%2B1%5Cright)%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7Dn%5Cleft(n-1%5Cright)%5Cleft(n-3%5Cright)$

任取3点构成三角形的总数为

$%5Cmathrm%7BC%7D_n%5E3%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7Dn%5Cleft(n-1%5Cright)%5Cleft(n-2%5Cright)$

任取3点构成的钝角三角形的概率为

$%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7Dn%5Cleft(n-1%5Cright)%5Cleft(n-3%5Cright)%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7Dn%5Cleft(n-1%5Cright)%5Cleft(n-2%5Cright)%7D%3D%5Cfrac%7B3n-9%7D%7B4n-8%7D%3D%5Cfrac%7B93%7D%7B125%7D$

得 $n%3D127$ ，符合题意.

综上， $n$ 的所有可能值有376和127，它们的和为503.

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