微积分（八十三）——解析函数

2023-06-13 08:41 作者:Mark-McCutcheon 0人读过 | 我要投稿

我们把场的概念迁到复平面上，就得到了复变函数。因此它可以看作是两个二元实变函数。复变函数的定义域和值域都可看作平面点集。此外，可以类似地定义复变函数的反函数。

极限与连续

针对复变函数，我们可以把实变函数的极限与连续理论迁移过来。

（定义） 设函数 $%5Comega%20%3Df(z)$ 定义于点集 $E$ 上， $z_0$ 是 $E$ 的聚点。若存在一复数 $%5Comega%20_0$ ，对任一给定的 $%5Cvarepsilon%20%3E0$ ，存在 $%5Cdelta%20%3E0$ ，使得只要 $0%3C%5Cvert%20z-z_0%20%5Cvert%20%3C%5Cdelta%20$ ，就有 $%5Cvert%20f(z)-%5Comega%20_0%20%5Cvert%20%3C%5Cvarepsilon%20$ ，则称 $f(z)$ 沿 $E$ 于 $z_0$ 有极限 $%5Comega%20_0$ ，记作

$%5C%5C%5Clim_%7Bz%5Cto%20z_0%5C%5Cz%5Cin%20E%7D%20f(z)%3D%5Comega%20_0$

可以看出复函数的极限比实变函数更严格，实变函数的“趋于”只是在一条线上进行，而复变函数则是在面上满足。当上述定义中若复数只能沿某个方向而非取得点集 $E$ 所有的点时趋于 $z_0$ 才能满足 $%5Cvert%20f(z)-%5Comega%20_0%20%5Cvert%20%3C%5Cvarepsilon%20$ ，则极限是不存在的。复变函数的极限具有与实变函数类似的性质，如唯一性、有界性、保号性、加减乘除的性质，读者可以自证。

（定义） 设函数 $%5Comega%20%3Df(z)$ 定义于点集 $E$ 上， $z_0$ 是 $E$ 的聚点，且 $z_0%5Cin%20E$ 。若

$%5C%5C%5Clim_%7Bz%5Cto%20z_0%5C%5Cz%5Cin%20E%7D%20f(z)%3Df(z_0)$

则称 $f(z)$ 沿 $E$ 于 $z_0$ 连续。若 $f(z)$ 在 $E$ 的各点连续，则称其在 $E$ 上连续。

在有界闭集上连续的复函数具有与在闭区间上连续函数类似的性质，即有界性、取到最值性及一致连续性。这是由于可以证明当我们把复变函数看作两实函数叠加时，其极限与连续均可用两个实函数的极限与连续表达，而复变函数的模长也可以利用两函数的值结合勾股定理计算，因此引用二元实变函数的结论即可。需要注意在区域内上述不一定成立（根本原因在于只有闭集内的点列才一定能收敛于闭集内，当然这句话不一定需要看懂）。

在扩充复平面上函数可在无穷远点取值，也可对极限、连续的概念进行推广，类似于实函数，此处不再赘述。注意无穷远元素具备的一些运算性质：

$%E2%88%9E%5Cpm%20%E2%88%9E%E3%80%810%5Ccdot%20%E2%88%9E%E3%80%81%5Cfrac%7B%E2%88%9E%7D%7B%E2%88%9E%7D%20%E3%80%81%5Cfrac%7B0%7D%7B0%7D%20$ 无意义。
$a%5Cneq%E2%88%9E$ 时， $%5Cfrac%7B%E2%88%9E%7D%7Ba%7D%20%3D%E2%88%9E%2C%5Cfrac%7Ba%7D%7B%E2%88%9E%7D%20%3D0%2C%E2%88%9E%5Cpm%20a%3D%E2%88%9E%3Da%5Cpm%20%E2%88%9E$ 。
$b%5Cneq%200$ 时（可为无穷远元素）， $%E2%88%9E%5Ccdot%20b%3D%E2%88%9E%3Db%5Ccdot%20%E2%88%9E%2C%5Cfrac%7Bb%7D%7B0%7D%20%3D%E2%88%9E$ 。

同时我们不讨论无穷远元素的实、虚部以及辐角。

解析函数

接下来我们讲解全章最重要的概念——解析函数。

设 $%5Comega%20%3Df(z)$ 在 $z_0$ 的邻域内有定义，在该邻域内考虑极限

$%5C%5C%5Clim_%7Bz%5Cto%20z_0%7D%20%5Cfrac%7Bf(z)-f(z_0)%7D%7Bz-z_0%7D%20$

若存在，则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 可导，此极限即记为其导数值，记作 $f'(z_0)$ 。

同样地可以定义微分。设函数在 $z$ 可导：

$%5Clim_%7B%5CDelta%20z%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7B%5CDelta%20%5Comega%20%7D%7B%5CDelta%20z%7D%20%3Df'(z)%5C%5C%0A%5CRightarrow%20%5Cfrac%7B%5CDelta%20%5Comega%20%7D%7B%5CDelta%20z%7D%3Df'(z)%2B%5Ceta%20%2C%E5%85%B6%E4%B8%AD%5Ceta%20%5Crightarrow%200%5C%5C%5CRightarrow%20%5CDelta%20%5Comega%20%3Df'(z)%5CDelta%20z%2B%5Ceta%20%5CDelta%20z$

上式等式右边最后一项是比 $%5CDelta%20z$ 高阶的无穷小。于是称上式等式右边第一项为函数在该点的微分，记作 $df(z)%3Dd%5Comega%20%3Df'(z)%5CDelta%20z$ ， $%5CDelta%20z$ 可写作 $dz$ 。于是 $%5Cfrac%7Bdf(z)%7D%7Bdz%7D%3Df'(z)%20$ ，与实变情形是一致的。

现在，考虑区域 $D$ 上的函数 $f(z)$ ，若函数在该区域上各点均可微，我们称函数在区域内可微，并称其为区域 $D$ 上的解析函数，或称函数在区域内解析。为了方便，函数在某点可微在今后也成为函数在某点解析。此后称函数在闭域（区域及其边界）解析是指函数在某包含该闭域的区域内解析。解析函数也称全纯函数或正则函数。