[高中物理(拓展)]小球/斜面模型运动状态的分析

2023-06-20 11:34 作者:现代微积分 0人读过 | 我要投稿

今天来更一期有关高中物理中一些运动分析的拓展。

如图：在光滑水平面上放置一斜面，一小球在斜面上，请对小球的运动状态进行讨论

分别对斜面和小球受力分析

其中， $F_%7BN_1%7D$ 为小球对斜面的压力， $F_%7BN_1%7D'$ 为斜面对小球的支持力，二者为一对相互作用力(等大反向且垂直于斜面)； $F_%7BN_2%7D$ 为地面对斜面的支持力； $%5Ctheta$ 为斜面倾角

对斜面：

水平方向： $%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7BF_%7BN_1%7D%7D%7D%20%5Csin%5Ctheta%20%3DM%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20%7Ba_M%7D%7D%20$ ①

$a_M$ 方向水平向右

竖直方向： $%7B%5Ccolor%7BPurple%7D%20%7BF_%7BN_2%7D%7D%7D%20%3DMg%2B%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7BF_%7BN_1%7D%7D%7D%20%5Ccos%20%5Ctheta%20%0A$ ②

对小球：

沿斜面方向： $mg%5Ccos%20%5Ctheta%20%3Dma_%7Bm_1%7D%0A$

垂直斜面方向： $F_%7BN_1%7D'-mg%5Ccos%20%5Ctheta%20%3Dma_%7Bm_2%7D$

先是分析到此，我们发现正是由于斜面不是固定的，因此小球在垂直于斜面方向也会有位移，故垂直于斜面方向可能存在加速度，因此 $a_%7Bm_2%7D$ 不能忽略

为方便研究，我们可以考虑换系：从以地面为参考系换为以斜面为参考系

这时小球就会受到与原系中斜面的加速度等大反向的惯性加速度 $a_%7BM%7D'$ (大小关系: $a_%7BM%7D'%3Da_%7BM%7D$ )

在这个参考系下，小球就贴着斜面做直线运动了，即垂直于斜面方向受力平衡。这时再对小球受力分析就方便很多。

沿斜面方向： $%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7BF_%7BN_1%7D'%7D%7D%20%2Bm%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20%7Ba_%7BM%7D'%7D%7D%20%5Csin%20%5Ctheta%20%3Dmg%5Ccos%20%5Ctheta%20$ ③

垂直斜面方向： $m%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20%7Ba_%7BM%7D'%7D%7D%20%5Ccos%20%5Ctheta%20%2Bmg%5Csin%20%5Ctheta%20%3Dm%7B%5Ccolor%7BOrange%7D%20%7Ba_m'%7D%7D%20$ ④

联立①②③④，这里有 $%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7BF_%7BN_1%7D%7D%7D%2C%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20%7Ba_M%7D%7D%20%2C%7B%5Ccolor%7BPurple%7D%20%7BF_%7BN_2%7D%7D%7D%2C%7B%5Ccolor%7BOrange%7D%20%7Ba_m'%7D%7D%20$ 四个未知数，可以先联立①③解出 $%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7BF_%7BN_1%7D%7D%7D%2C%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20%7Ba_M%7D%7D%20$

从而回代②④得出 $%7B%5Ccolor%7BPurple%7D%20%7BF_%7BN_2%7D%7D%7D%2C%7B%5Ccolor%7BOrange%7D%20%7Ba_m'%7D%7D%20$ ，最终解为：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7BF_%7BN_1%7D%7D%7D%20%3D%5Cfrac%7BMmg%5Ccos%5Ctheta%20%7D%7BM%2Bm%5Csin%5E2%5Ctheta%7D%20%5C%5C%0A%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20%7Ba_M%7D%7D%20%3D%5Cfrac%7Bmg%5Csin%5Ctheta%5Ccos%5E2%5Ctheta%20%7D%7BM%2Bm%5Csin%5E2%5Ctheta%20%7D%2Bg%5Csin%20%5Ctheta%20%5C%5C%0A%7B%5Ccolor%7BPurple%7D%20%7BF_%7BN_2%7D%7D%7D%20%3DMg%2B%5Cfrac%7BMmg%5Ccos%5E2%5Ctheta%20%7D%7BM%2Bm%5Csin%5E2%5Ctheta%7D%5C%5C%0A%7B%5Ccolor%7BOrange%7D%20%7Ba_m'%7D%7D%20%3D%5Cfrac%7Bmg%5Csin%5Ctheta%5Ccos%5E2%5Ctheta%20%7D%7BM%2Bm%5Csin%5E2%5Ctheta%20%7D%20%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

其中 $a_m$ 为以斜面为参考系时的加速度，方向沿斜面向下，因此将参考系换回为地面时需要加回 $a_M$ (去掉惯性加速度复原)，即 $%5Coverrightarrow%7Ba_m%7D%20%3D%5Coverrightarrow%7Ba_m'%7D%2B%5Coverrightarrow%7Ba_M%7D$ (注意这里是矢量运算)

由图知 $%5Cleft%20%5Clangle%20%5Coverrightarrow%7Ba_m'%7D~%2C~%5Coverrightarrow%7Ba_M%7D%20%5Cright%20%5Crangle%20%3D%5Cpi%20-%5Ctheta%20$

因此可通过取模运算 $%5Cleft%20%7C%20%5Coverrightarrow%7Ba_m%7D%20%5Cright%20%7C%20%20%3D%5Cleft%20%7C%20%5Coverrightarrow%7Ba_m'%7D%2B%5Coverrightarrow%7Ba_M%7D%20%5Cright%20%7C$ (两边平方再开方)可求出 $a_m$ 大小，这里就不具体算了