【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep64】实数完备性第三波定理互推（上）

我们在Ep20提到：

“完备性”是“实数”完全不同于“有理数”的一个性质。

——所以，由此可以导出许多“实数”独有的定理。

以及——

“‘实数完备性/连续性’也是在大学数学专业《数学分析》课程中遇到的第一个重要的概念，以此为起点，导出的“实数连续性的六个定理”的相互推导，曾几何时是“北大数学系考研”连续几年《数学分析》的必出题，……，当然这道题往往是其中的送分题，……，简言之，就是，“实数的完备性”部分是数学系第一个要下功夫的学习重点。”

——实际上，实数基本原理有七个，但是聚点原理一般教材一元微积分部分不会深聊，所以我们掌握前六个翻来覆去的推导即可。

我们在Ep21聊了“实数完备性”的第一个定理——“确界原理”：非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。

我们在Ep49介绍了“实数完备性”的第二个定理——“单调有界原理”：单调有界数列必收敛。

并且我们在Ep49和Ep50介绍了前两个定理的互推。

我们在Ep61聊了实数完备性第三个定理：闭区间套定理——

1. 闭区间套的无限序列——In=[an，bn]，n为正整数，满足：I1包含I2包含……包含In包含In+1包含……；

2. lim（bn-an）=0，n趋向于无穷大时——

则这些区间的公共部分为唯一的一点/一个数。

同时，我们介绍了如何从“单调有界原理”推导出“闭区间套定理”。

Ep62介绍了如何由“闭区间套定理”反推“单调有界原理”的证明。

今天开始实数完备性第三波定理互推的前半部分，即如何由“确界原理”推出“闭区间套定理”，即——

已知：

1. 闭区间套的无限序列——In=[an，bn]，n为正整数，满足：I1包含I2包含……包含In包含In+1包含……；

2. lim（bn-an）=0，n趋向于无穷大时。

求证：这些区间的公共部分为唯一的一点/一个数。

工具：确界原理，即非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。

思路：利用确界原理的套路也就是从题设条件中构造一个有界数集，然后自然得到一个唯一的数——该数集的确界，然后再证明该数即为所求公共部分。

分析——

1. 区间套的构造，可以得到两个有界数集，{an}和{bn}，以{an}为例，任取自然数i，a1<=ai<=b1，即{an}是有界数集，同理{bn}也是有界数集； 

2. 由闭区间套的性质，可知，对于任意正整数n，bn>an>=an-1>=……>=a1，由归纳法，对于任意n，bn为{an}的一个上界，同理，an为{bn}的一个下界；

3. 由确界原理，{an}存在上确界a，即，对于任意自然数i，ai<=a，对于任意小数ε>0，存在自然数m，am>a-ε，同理，{bn}存在下确界b；

4. 由2、3，可知bn>=a>=an，同理an<=b<=bn，即a、b分别为该闭区间套的无穷序列的公共点；——就是说，这两个数落在所有的区间里面；

5. 由4可知，|b-a|<=（bn-an），两边取极限即|b-a|<=lim（bn-an）=0，即|b-a|=0，即b=a，即该闭区间套的无穷序列的公共点是唯一的，证毕。——加上绝对值就不用去证明a和b哪个大哪个小了。

今天就到这里。