因果结构与仓田真白失踪案
本文大概是在模仿Randall Munroe的What If系列，试图用严谨的论证解决一个荒谬的问题，即：ガルパ☆ピコ～大盛り～中的仓田真白失踪案能否在相对论框架下实现。Thoroughly answering a stupid question can take you to some pretty interesting places.
本文灵感来源于：
这篇文章试图在狭义相对论的框架下解释仓田真白失踪案，但是如后文所论述，狭义相对论的Minkovski时空并不能容许一条闭合因果曲线的存在，即使所以相对论效应再强（比如列车速度达到0.99c），也无法实现这样的失踪案；除非相对论效应“超越极端”，即通过快子实现超光速通讯。换句话说，透子和真白交流的电话是一部快子电话，能够把信号传递给过去。
不过本文并不想讨论快子电话的问题（本文假设透子和真白交流的电话单纯是通过电磁波传播的信息），而是试图在广义相对论框架下讨论：是否有可能通过特殊方法扭曲过的时空度规，构造出一条符合仓田真白失踪案的闭合因果曲线，从而破坏因果结构。
首先定义因果结构的一些概念。
时空的因果结构
考虑一个洛伦兹流形。我们想要考虑上面的因果结构：它是一个global的性质，并不是简单从度规看出的local的性质。
直观上来说，信息的传递最快只能是光速，所以零测底线包含了时空的因果结构信息。
首先，在一个点上如何定义过去、未来和因果无关？局部来说也有一个光锥，按照切矢的长度是实数还是虚数区分是因果相关还是因果无关。对于因果相关的部分，按照g(X,Y)<0这个等价关系分为两个等价类，一个称为未来，一个称为过去。哪边属于未来哪边属于过去则是人为指定的（人为对时间箭头的选定）。指向未来类与指向过去类的定义可以通过连续性延伸到零向量。这光锥无非就是通过这个事件点的零测地线构成的锥体。
下面大部分都是一些概念性的东西。虽然如此，把这些概念澄清清楚，对物理图像的想象是很重要的。
我们说一个洛伦兹流形是time-orientable的，如果在它上面可以连续地定义出每个点的未来方向和过去方向。我们只考虑time-orientable的洛伦兹流形，它排除了一些过于奇怪的情况，比如人为把某个区域内部的时间箭头反转造出不连续性。总之，现在这个洛伦兹流形上有一个良定义而且连续的时间箭头。
流形上的曲线可以划分为类时曲线（也叫时序曲线）、零曲线、类空曲线。非类空曲线也叫做因果曲线，它上面的切向量可以是零的，也可以是类时的。它可以表示因果的传递。因为流形已经是时间定向的，所以因果曲线也可以自然地时间定向，即区分因和果，或者说是指向未来或者指向过去的因果曲线。类空曲线则没有所谓的时序定向的说法了。
两种特殊的曲线：闭合类时曲线和闭合零曲线。这些闭合的因果曲线会导致一些因果性的异常，下面会仔细说。
洛伦兹流形上的两个点之间可以定义因果/时序关系：
简单来说，因果先于包括了时序先于（不在光锥上）和horismos（恰好在光锥上）。这里时序就是类时的意思，换句话说就是有质量粒子能够移动到另一个事件点；而因果包括了时序和零，表示信息传递的最大速度。
进而可以定义时序未来（过去）和因果未来（过去）：
这个定义还可以扩展到一个集合的时序未来和因果未来：
只要在流形上每个点定义了时序未来和因果未来的集合，流形的因果结构就完全清楚了。
注意：零曲线在共形变换下不变，所以共形变换是不改变时空的因果结构的。所以用彭罗斯-卡特图来讨论时空的整体因果结构是很好的。
一个集合称为非时序的，如果上面的任意两个点无法用时序曲线相连。比如Minkovski时空中的类空超曲面就是非时序的。非时序曲面是一个恰当的“同时性曲面”（不过当然其中并不存在哪个最好）。
接下来定义Cauchy developement的概念。一个非时序集合S的future Cauchy developement D^+(S)定义为：所有「指向过去的因果曲线必然与S相交」的点组成的集合。类似的有past Cauchy developement。可以理解为，D^+(S)内部的所有点的“因”都完全由S决定，即S决定论地包含了D^+(S)内部“将要发生事件”的所有信息。同理，D^-(S)内部所有点的“果”都在S内，所以S包含了D^-(S)内部“已经发生事件的所有信息”（当然只是决定论的说法）。这两个集合的边界叫做（未来/过去）Cauchy视界，它们都是零曲面。想象两个底对底的圆锥。
如果一个S的Cauchy developement是整个时空，那么叫它Cauchy面。有Cauchy面的时空称为整体双曲的，它有比较好的因果结构，初值问题（Cauchy问题）也比较良定义。
我们定义时序破坏集为闭合类时曲线经过点组成的集合。类似地可以定义因果破坏集。这种集合的存在，以及奇点的存在，都会破坏Cauchy面，从而对初值问题造成严重影响。
比如来看这个Minkovski时空的Penrose图。
45度的斜线就是零测地线。在中间随便画一条非时序曲面，它就是Cauchy面。显然，Minkovski时空是整体双曲的。
对于Kruskal时空（同样，45度的斜线就是零测地线），Cauchy面需要横跨universe和parallel universe：
所以它也是整体双曲的。
对于RN黑洞：
显然它并不是整体双曲的。
对于Kerr黑洞也是一样：
这三种黑洞的因果结构从Penrose图上都可以直观看出。
对于渐进平坦的时空，Penrose定义了一下几种infinity：
回去看一下Minkovski时空的Penrose图就可以理解这几种定义的区别。
进一步，我们把一个渐进平坦时空的future null infinity的因果过去的边界定义为未来视界H^+。类似可以定义过去视界H^-。看看上面的Penrose图就能理解这个定义。Penrose的一个定理说明：未来视界的generator（即在一段区域内在未来视界上的null geodesic）没有未来终点。换句话说，零测地线可以进入到H^+上，但不能离开它。
可以证明，如果CTC存在，那么要么奇点存在，要么弱能量条件会被破坏（即要求负能量）。
仓田真白失踪案
假想因为远古random star的影响，时空的度规发生了异变。真白在列车上遇到的四个人并不是鬼，而是Morfonica另外四人在通讯中断后上车，到达村泽站时候的样子。这个解释在相对论框架下能否行得通呢？
“电话联络”这个信息传递的过程并不是很好刻画，虽然是电磁波，但是还有一些额外的转化为声波的过程，导致信息传递速度并不是光速。为了方便起见，把电话抽象成光信号：
真白在村泽站上车的时候，遇到了透子等四人。同时，她们向透子之前所在车站位置发送光信号；
光信号被“之前的”透子接收到，此后透子等四人上车；
经过一段时间，透子等人到达村泽站，遇到上车的真白。
把真白发送光信号这个事件点记为A，透子接收到光信号这个事件点记为B。
粗略来看，这个失踪案有一个很不合理的地方：在真白上车的同时，存在两个透子。一个透子在她面前，听一个透子在出发的车站。但是毕竟我们说了，因为远古random star的影响，时空的度规发生了异变，不再是Minkovski时空。因此，并不存在global的“同时性”概念，也就不存在所谓“同一时刻有两个透子”。但是，我们可以引用前面提到的一个概念：非时序集合。虽然“同时性”概念并不well-defined，但是我们至少可以说，在一个非时序的超曲面上，不应该同时出现两个透子，因为这两个透子之间不可能通过时序曲线连接。所以我们看到的这个非时序超曲面也许根本不是一个非时序超曲面。
更加仔细考虑一下，这个失踪案中存在因果性的错乱。比如，假设Morfonica事先约定好光信号表示“不要上车”这个信息。透子等人到达村泽站，遇到上车的真白，此时透子决定让十分钟前的自己不要上车，于是让真白给自己之前所在的位置发送光信号；十分钟前的透子接收到光信号，决定不上车。那么透子本身就不可能存在于列车上。这是一个祖父悖论。
用因果结构的术语来说，A因果先于B（更仔细的说法是A horismos B），但B同时时序先于A（所以当然也因果先于A）。这说明存在一条闭合的因果曲线，因果破坏集非空。
这样一个失踪案的解释能否在物理上成立？下面给出三点结论：
在狭义相对论的框架下，这种失踪案无法发生。因为在Minkovski时空中，仓田真白失踪案要求A点位于B点的过去光锥之内，但是同时又要在B的未来光锥之内，而Minkovski时空整体是平直的，过去光锥和未来光锥没有重合的地方。所以不要指望能通过“0.99c速度的列车”来完成仓田真白失踪案：狭义相对论效应再强，也无法实现。
在（经典的）广义相对论的框架下，这种失踪案「有可能」能够发生。它基于Einstein场方程的某些解中CTC（封闭类时曲线）的存在。后文会对此进行详细的论述。根源在于，广义相对论只限制了局部的光锥和速度，但是并没有限制全局的因果和“全局速度”（就像宇宙大爆炸）。
Chronology protection conjecture认为物理定律不允许宏观尺度的时间旅行。即使CTC能够“经典地”存在，它也会必然地被某些半经典或者量子效应在宏观上避免。"If a method to travel faster than light exists, and one tries to use it to build a time machine, something will go wrong: the energy accumulated will explode, or it will create a black hole."但是现在既然没有完整的量子引力理论，这一点也无非是一个假设。因此，本文只从经典的广义相对论角度来考虑。
下面详细地阐述第二点。特别地，我们提出两个实现失踪案的机制：Kerr黑洞与Alcubierre引擎。
Kerr黑洞
对于一个带有零电荷和非零角动量的黑洞，其度规为（Boyer-Lindquist坐标下）：
为了对应于Minkovski时空的Cartesian coordinates，这里面的r应该解释为椭球坐标的参数：
显然，这个黑洞的奇点为圆环x^2+y^2=a^2,z=0。
注意到，这时候无穷大红移面（稳态极限面）和事件视界是分隔开来的：
可以通过Penrose过程从能层中抽取转动能。
假如我们穿过外视界和内视界进入所谓的antiverse(r<0的部分，渐进平直)，我们会发现奇点环是暴露在外的。在这个antiverse里面，保持r略微小于0，theta=90度，phi为周期运动（换句话说，就是保持在奇点环的平面上，贴在奇点环的外延做圆周运动）。此时路径的线元为：
如果保证r的绝对值比较小，这个线元就是负的，所以这个圆环是类时曲线。这就造出了一条CTC。
对于这起失踪案，我们需要的并不完全是CTC，所以解释需要稍微变动一下：
透子等人接收到“来自自己未来”的信号之后上车，而列车绕着奇点环转了一圈，遇到了正在等车的真白。这时候发送光信号，因为强烈的时空扭曲，过去在车站的透子正好处于现在的透子的光锥内部，她进而发送光信号给过去的自己。这个解释当然会发生命定悖论（如果透子故意发送不同的信号，那么过去的她接收到的是什么信号？），但是至少经典GR内是行得通的。也许Novikov self-consistency principle能保证透子发送的信号必须是自己之前接收到的那个。
Alcubierre引擎
也就是所谓的曲率引擎，我们姑且不去管负能量的要求，以及霍金的chronology protection conjecture会不会通过量子效应毁坏这个引擎，单纯从度规的角度去看是否能够实现这起失踪案。至于负能量的要求，就当作神奇的远古random star能够提供好了。
首先定义这样一个函数：
其中R和sigma是两个任意的参数（sigma比较大，R代表引擎的半径）。这个函数长这样：
在半径R之内大约为1，在远离的地方指数衰减为0。
Alcubierre度规为：
在轨迹附近半径为R的球体内部，时空有明显的弯曲。在远离这个球体的地方，时空是渐进平坦的。
在球体中心，时空是平坦的。（所以能够放置“飞船”）
expansion θ of the volume elements associated with the Eulerian observers如下图所示：
也就是说，引擎后方的时空拉伸，而前方的时空压缩。
4.对于旅行者而言，d\tau=dt，所以完全没有任何时间膨胀效应，他感受到的就是坐标时。所以曲率引擎的乘客并不需要任何额外的时钟校对。
5.旅行者走的是类时测地线，所以不需要任何外界作用力。
6.sigma越大，引擎周边的引潮力越大，但是内部越平坦。反之，引擎周边引潮力小，但是内部不平坦。
7.设计x_s(t)函数，使得它在一开始和结束后静止，只有中间在运动。那么在开始前和结束后，时空都是普通的Minkovski时空。所以可以说，这只是通过对于平直时空的一个局域（空间和时间上都是局域的）扰动实现超光速旅行。
8.飞船的光锥是x=(v+1)t和x=(v-1)t，显然飞船自己的轨迹在光锥里面，没有违背局部的因果。
9.和tachyon不同，tachyon的世界线是类空的，但是曲率引擎虽然超光速，世界线仍然是类时曲线。
进而可以模拟出乘客的视角：
以及静态观测者的视角：
至于粒子的运动，可以通过类时测地线给出：
这样一个度规本身并不含有CTC，不过既然它能超光速了，造出一个CTC来也并不困难。因为超光速无非是（看起来）在类空的区域内跑，这个区域本身没有时间正负的概念，选个不同的坐标就会导致“时间倒流”。假如我们自己所在一个惯性系坐标，然后曲率引擎以一个匀速v<1“整体”沿着反方向运动，而引擎本身的设定速度为mu>1（并且要求v*mu>c^2），那么在我们的坐标下面，曲率引擎的轨迹就变成（当然还可以算出这时候的度规张量）：
虽然在全局坐标下的确是“时间倒流”了（当然，粒子的轨迹仍然在光锥内部，并没有局部的因果破坏），不过这个全局坐标本身并没有什么意义。但是，假如我们把两个引擎拼接起来：
就能够实现一条实打实的CTC（绿色箭头指示）。注意，这两个路径看似相交，其实在二维上可以分隔得很开，没有时空扰动的互相影响。
想象一辆列车，自西向东开；而车头到车尾有Alcubierre引擎连接。乘客从车头上车，经过Alcubierre传送到车尾下车。对于司机来说，乘客完成了一次超光速运动。而对于车外的人来说，乘客先下车后上车，发生了因果性的破坏。（如果你觉得列车装不下一个Alcubierre引擎的话，其实只需要把参数R取成2m左右，sigma尽量大一点，时空的扭曲就并不会对列车的结构产生影响，在bubble外边影响是指数衰减的）
对于仓田真白失踪案，则情况稍微好一点：并没有CTC出现，而是只有闭合因果曲线：透子等人接到电话之后上车，经过一次换乘到达真白的车站，而到达的瞬间，真白恰好打出电话，这通电话就是透子之前接到的那通。
最终，并没有谁真正意义上经历了时间旅行，她们的世界线并没有自交。比如说，如果在B站台相遇后，所有人下车，那么世界线就普通地向后延伸，刚才的因果混乱就此消失。
总结
总之本文提出了两种实现仓田真白失踪案的可能方法：
远古random star把地球带入一个Kerr黑洞，穿过了稳态极限面和两个事件视界（这时候上一个宇宙倒是已经没了），并最终穿过奇点环进入一个渐进平坦的时空。在这个时空里，真白照常在村泽站等车。透子等人接收到来自未来的信号后上车，列车跑出地球绕着奇点环一圈后回到地球，到达真白的车站会合，并给过去的自己发送信号。
远古random star使列车上装配有Alcubierre引擎。透子等人接收到来自自己未来的信号后，上车并通过Alcubierre引擎从车头传送到车尾下车；之后换乘一辆反方向的车，同样通过Alcubierre引擎从车头传送到车尾下车，到达村泽站，与真白会合，并给过去的自己（在目前这个坐标系下其实同样是未来的自己）发送信号。
