[高代绿皮书第四版课后习题] 1.5 T4

2023-08-03 13:09 作者:czjylh 0人读过 | 我要投稿

原题

利用Vandermonde行列式计算下列行列式

$%7CA%7C%3D%5Cleft%7C%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%20%20%20a_%7B1%7D%5E%7Bn-1%7D%20%26%20a_%7B1%7D%5E%7Bn-2%7D%7B%7Bb%7D_%7B1%7D%7D%20%26%20%5Ccdots%20%20%26%20%7B%7Ba%7D_%7B1%7D%7Db_%7B1%7D%5E%7Bn-2%7D%20%26%20b_%7B1%7D%5E%7Bn-1%7D%20%20%5C%5C%0A%20%20%20a_%7B2%7D%5E%7Bn-1%7D%20%26%20a_%7B2%7D%5E%7Bn-2%7D%7B%7Bb%7D_%7B2%7D%7D%20%26%20%5Ccdots%20%20%26%20%7B%7Ba%7D_%7B2%7D%7Db_%7B2%7D%5E%7Bn-2%7D%20%26%20b_%7B2%7D%5E%7Bn-1%7D%20%20%5C%5C%0A%20%20%20%5Cvdots%20%20%26%20%5Cvdots%20%20%26%20%7B%7D%20%26%20%5Cvdots%20%20%26%20%5Cvdots%20%20%20%5C%5C%0A%20%20%20a_%7Bn%7D%5E%7Bn-1%7D%20%26%20a_%7Bn%7D%5E%7Bn-2%7D%7B%7Bb%7D_%7Bn%7D%7D%20%26%20%5Ccdots%20%20%26%20%7B%7Ba%7D_%7Bn%7D%7Db_%7Bn%7D%5E%7Bn-2%7D%20%26%20b_%7Bn%7D%5E%7Bn-1%7D%20%20%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%7C$

解析

思路:

分为三种情况进行讨论:

(1):

$%5Cforall%20a_%7Bi%7D%5Cneq%200%20%5CRightarrow%20%7CA%7C%3D%5Cdisplaystyle%20%5Cprod%20%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20%7Ba_%7Bi%7D%5E%7Bn-1%7D%7D%7CB%7C$

其中|B|为Vandermonde行列式,用相关公式求解即可

(2):

$%5Cexists!%5C%2Ca_%7Bi%7D%3D0$

则按照第 i 列展开即得

$%7CA%7C%3D(-1)%5E%7Bi%2Bn%7D%5C%2Cb_%7Bi%7D%5E%7Bn-1%7D%5Cdisplaystyle%20%5Cprod%20%5Climits_%7Bk%3D1%2Ck%5Cneq%20i%7D%5E%7Bn%7D%7Ba_%7Bk%7D%20%5E%7Bn-1%7D%7D%7CC%7C$