连计算机都束手无策的方程，16岁高中生看完都会算了（中）

在这篇笔记中我们回答评论区中提出的一些问题，例如：如何判定原式确定了一条椭圆曲线、为何需要做坐标变换等。

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原式f(a,b,c)=0是关于3个未知数的三次齐次方程，其解集是射影平面P^2上的一条代数曲线。又由隐函数求导可知其无奇点，应用光滑平面曲线的genus-degree公式【1】我们已经知道E:=V(f)有亏格g=1，因此是椭圆曲线。

注【1】：d次齐次方程确定的光滑平面曲线的亏格g=(d-1)(d-2)/2。

尽管E（的仿射锥）在a,b,c坐标下具有较为对称的形式，但实践表明其有理点在这一形式下不易求得。因此我们考虑将E化为椭圆曲线的标准型，在标准型下E的群结构容易计算，并且有许多现成的算法可以利用。

本期视频的内容是通过给出一个具体的双有理等价，将E化为其仿射标准型。其过程中所使用的技巧具有一定的普遍性。

应用上一期视频的课后习题，我们可将E进一步化为Weierstrass short form ：y^=x^3+ax+b，此时E的群运算将会非常简洁。

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至此我们已经做好了寻找E上的有理点的准备工作。关于E(Q)的具体刻画，敬请期待下一期视频讲解！