视频 BV1bz411h7h9 定理证明
定理1.
设PF1=c，PF2=b，∠F1PB=α，∠F2PB=β
SΔABC
=SΔPF1B+SΔPF2B
即bcsin（α+β）/2
=（csinα+bsinβ）AD/2
即sin（α+β）/AD
=sinα/b+sinβ/c
得证
定理2.
AD为角分线
有AB/AC=BD/CD
即CD·AB
=BD·AC
即（BD+CD）·CD·AB
=（BD+CD）BD·AC
即CD²AB+BD·CD·AB
=BD²AC+BD·CD·AC
即－BD·DC·AC+BD·DC·AB
=-CD²AB+BD²AC
即AB·AC²－AB²·AC－
BD·DC·AC+BD·DC·AB
=AB·AC²－AB²AC
－CD²AB+BD²AC
即AB·AC²－AB²AC
－CD²AB+BD²AC
=（AB·AC-BD·DC）（AC－AB）
即AB·AC-BD·DC
=（AB·AC²－CD²AB+BD²AC－AB²AC）
/（AC－AB）①
AD为角分线
有（AB²+AD²-BD²）/（2AB·AD）
=（AC²+AD²-CD²）/（2AC·AD）
即（AB²+AD²-BD²）/AB
=（AC²+AD²-CD²）/AC
即AB²AC+AD²AC-BD²AC
=AC²AB+AD²AB-CD²AB
即AD²
=（AC²AB-CD²AB+BD²AC－AB²AC）
/（AC－AB）②
由①②
AD²=AB·AC-BD·DC
得证
