复旦大学谢启鸿老师高等代数在线习题课 思考题题分析与解 ep.11

题目来自于复旦大学谢启鸿教授在本站高等代数习题课的课后思考题，本文仅供学习交流  

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本人解题水平有限，可能会有错误，恳请斧正！

Remark:

练习题1  本题较容易，只需要应用基础循环矩阵幂次方的性质即可将循环矩阵表示为基础循环矩阵的多项式了

练习题2  本题引入了置换矩阵的概念，本质上是将原矩阵的列或者行按照某种给定的顺序打乱，证明的过程运用到了基础矩阵的运算性质、矩阵的分块表示以及行列式的组合定义，这三者在证明一些矩阵的性质时如果善用就可以大大简化计算

练习题3  本题研究的是位移矩阵，属于新定义，第一问只需要注意到幂零块的幂次方的性质即可.第二问讨论了三角阵的情况下位移矩阵的乘法以及求逆的性质，适当配凑即可，主要运用的还是幂零块的幂次方的性质.第三问属于第二问基础上的拓展，三角阵的情况下成立的问题不一定在一般情况下成立，那么这提醒我们问题将会在矩阵同时出现在拆分出的表达式中的时候出现，稍微试探即可找到例子