一个精度颇高的观察地球曲率实例：贡嘎雪山
最近某单机贴吧app天天给我推送关于地平论的内容，可以说这些帖子内外充满了快活的空气。其中一个颇为有(ruo)趣(zhi)的帖子中，楼主以贡嘎雪山的照片为例，以“感觉远处的雪山没有被隐藏这么多高度”为由，认定地球没有曲率。由于原帖的照片清晰度较低，我又找了一张清晰度更高的照片（图1）进行仔细考据。过程中，我发现这是一个解释地球曲率的颇为精确的例子（偏差0.02°以内），特此分享。
这是一张同时出现四川省成都市蒲江县城、玄空山和贡嘎雪山的超长焦远景照片。如图2，通过仔细观察细节我们不难发现，照片的左边缘经过了蒲江县城里一栋双联式的、红色基调为主、顶端1/5左右为浅色的建；画面的中线则经过两栋中间有一条深色带的土黄色建筑，并且周围还有很多相似的楼。通过百度地图的街景功能分别发现，左边缘这栋楼为“上城”，而中线这栋楼为“香槟城”小区最靠近河边的一栋。以此为范围还可以发现，图中很显眼的一条两侧有行道树的宽阔马路为工业大道的标记黄色实线的一段。
再次观察照片的远景，很幸运地发现这张照片的拍摄时间应该与Google地球使用照片的拍摄时间非常接近，雪山上出现的积雪和裸露山体的明暗变化可以一一对应（图3）。据此我们可以确定照片左边缘对应的位置是三连峰左侧（南侧）连着两块深色区域过度到亮区的分界线，标记为“方位角测量点（左）”，坐标为29°32'26.42"N, 101°54'54.22"E；画面中线则经过中山峰南坡上一块深色裸岩，具体而言又是这块深色裸岩上一小块浅色区域的右边缘，标记为“方位角测量点（右）”，坐标为29°32'26.42"N, 101°55'48.15"E。
根据“方位角测量点（左）-上城”连线的延长线和“方位角测量点（中）-香槟城”连线的延长线相交可以发现，拍摄的位置其实并不在蒲江，而是在眉山市彭山区白平观的一个小山包上（图4）。其海拔为639米，坐标是30°18'11.23"N, 103°46'47.38"E。
这里使用的依据经纬度计算方位角的方法：
南北距离=(纬度差)×6371939
东西距离=(经度差)×6371939×cos((起点纬度+终点纬度)/2)
方位角=270-arctan(南北距离/东西距离)（具体数值适用于第三象限南到西南方向）
用该方法可以计算出精确到千分位的方位角。虽然可能存在系统误差（<0.5°），但由于最终的目标是求出两个方位之间的夹角，因此系统偏差在相减后可以互相抵消。
由此我们可以算出，两个方位角之间的夹角为2.2829°，整个画面的宽度为4.5658°。原图的像素为2160×1440，即3:2。相机的FOV就是2arctan[tan(2.2829°)×√13/3]=5.4840°，以个人的经验公式f=26.8/tan(FOV/2)估计出的焦距是560毫米。
进一步，我们收集画面上出现的玄空山、木雅贡嘎、中山峰和朗格曼因的地理信息，海拔以百度百科为准，经纬坐标以Google地球为准，计算了它们与拍摄点之间不同模型下的距离和高度差（表1）。
表中数据计算方法：
直线距离：视地球为半径为r=6371.939千米的标准球体，各地点海拔为H，视为距离地心r+H的点，计算出空间坐标x=(r+H)cos(纬度)sin(经度), y=(r+H)cos(纬度)cos(经度), z(r+H)sin(纬度)，然后求出的空间中两点距离。
地平论水平距离：用cosθ=a·b/|a||b|求出各地点与拍摄地经纬坐标之间的夹角，再根据r=6371.939求出弧长，以此视为地平论标准下的水平距离。
地平论垂直距离：直接用目标海拔减去拍摄地海拔得到。
仰角：arctan(垂直距离/水平距离）
地球水平距离：(r+Hn)sinθn，其中θ即各地点与拍摄地经纬坐标之间的夹角。
地球垂直距离：(r+Hn)cosθn-(r+H0)，其中θ为各地点与拍摄地经纬坐标之间的夹角。
根据测量数据，我们可以开始对图片上进行标注和测量。其中玄空山的距离约为92km，海拔精确到个位时误差±0.5米带来的俯仰角误差<0.0003°，不到一像素，因此我们选取其为俯仰角的测量基准。注意，虽然在θ→0时，sinθ=θ(弧度)=tanθ，但为了提高精确度，根据相机的成像原理，图中所有的俯仰角都会先转化为相对水平中线（黑线）的夹角的正切值后，才对应成图片上的像素长度。正切与像素的转换关系为：tan(2.2829°)=0.039864（正切）=1080像素。
首先是地平论模型：
如图5所示，玄空山的仰角根据地平论算出来应为+0.7325°，在图中它高过水平中线的夹角为192像素=0.00709（正切）=0.4061°，因此水平中线的仰角为0.7325°-0.4061°=+0.3264°。也就是说，视平面（仰角为0°的面）还在水平中线下方0.3264°度，即154.3像素（此处开始换算过程略），绘制出的视平面（绿线）明显位于很多实际的平原地景下方。
进一步我们在图5上测量木雅贡嘎、中山峰、朗格曼因峰顶与水平中线的夹角分别有564、513.5和377.5像素，以水平中线为0.3264°为基准测量它们在图中的仰角。将这三座山峰的测出的仰角与结合地平论和地理信息计算出的仰角分别总结如下：
木雅贡嘎：测算仰角=1.5190°，地平理论仰角=1.9878°，偏差量-0.4688°
中山峰：测算仰角=1.4123°，地平理论仰角=1.8070°，偏差量-0.3947°
朗格曼因：测算仰角=1.1247°，地平理论仰角=1.6257°，偏差量-0.5010°
地平论平均偏差0.4548°，相当于图中的215像素，即画面宽度的10.0%。该偏差直观体现如图6：
然后我们以同样流程算算标准球体地球模型（图7）：
玄空山的仰角根据地球模型算出来应为+0.3184°，在图中它高过水平中线的夹角为0.4061°°，因此水平中线的仰角为0.3184°-0.4061°=-0.0877°。也就是说，视平面（仰角为0°的面）在水平中线上方41.5像素，绘制出的视平面（蓝线）位于实际的平原地景与远处山峰之间，符合日常生活的认知。
图7上测量木雅贡嘎、中山峰、朗格曼因峰顶与水平中线的夹角不变，依旧是564、513.5和377.5像素。以水平中线为-0.0877°为基准测量它们在图中的仰角。将这三座山峰的测出的仰角与结合地平论和地理信息计算出的仰角分别总结如下：
木雅贡嘎：测算仰角=1.1049°，地球模型仰角=1.0904°，偏差量-0.0145°
中山峰：测算仰角=0.9982°，地球模型仰角=0.9156°，偏差量+0.0826°
朗格曼因：测算仰角=0.7106°，地球模型仰角=0.7288°，偏差量-0.0182°
地球模型平均偏差0.0166°，相当于图中的7.8像素，即画面宽度的0.36%。
地平论在这张图片上不但偏差是地球模型偏差的27倍多，而且远处的山峰仰角比地平论预测的低得多。
如果认为以上的计算测量过程太过麻烦不愿意看，我们还可以通过横剖面图来更直观地展现两种模型的差异。（图8，注意，图片均经过严重的水平方向压缩，否则无法在屏幕上呈现）：
我们可以直观得看到，在地球模型下，朗格曼因到木雅贡嘎之间的夹角与到玄空山之间的差不多，这点在照片中也可以很明显地发现（图9）：
而依据地平模型，远处的三座山将远高于玄空山，之间夹角的差距会达到两倍之大（如图10），但这并不符合照片实际看到的样子。
后记
现代地平论兴起于19世纪，最初是由英国作家Samuel Rowbotham提出，他在一条长达9.7千米的又长又直的小河Old Benford River上，通过设置一具离水面20厘米的望远镜观察到了9.7千米外离水面高度为0.91米的旗帜。据此他断言地球一定是没有弧度的，日月运行于地面上3000英里，宇宙则最高不超过5000英里。在随后出版的书中，他又引用了《圣经》及日常生活经验来进一步定论地平的理论，认为所有关于地球的推论仅仅是“人类陷入了假设的陷阱”。
在1956年，英国阴谋论家Samuel Shenton创立了地平研究会，并尝试向学龄前儿童推销地平理论。在1967年阿波罗计划期间，即便人类已经成功从太空中拍到了地球的全貌，他（即便并不了解摄影原理），仍然坚称这是广角镜头的畸变造成的。但事实上，根据照相机的成像原理，广角镜头是不可能将直线拍成曲线的，能做到这一点的只有鱼眼镜头。直至今日，太空中拍摄到的地球照片是所有地平论者都绕不开的话题，他们为了坚持地平论的结论，要么以阴谋论全盘否定全世界的航空航天行为（所有国家联合起来P图并且以此黑掉经费）；要么强行混淆广角镜头和鱼眼镜头的成像差异，把所有的地球照片都称作“广角镜头的结果”。
地平研究会的成员在1997年达到了巅峰的3500人，随后在Shenton家的一场意外火灾烧毁大量成员的联系方式之后开始衰退。在2004年Daniel Shenton（只是凑巧同姓，不是Samuel的亲戚）在互联网上重新建立了该组织，并且一直持续到2013年，最多时注册会员达到500人。在2014年前后，随着社交媒体的兴起，地平论者的活动开始大规模进入大众的视野，由于推送算法的缘故，越来越多持有相同逻辑的人聚集到了一起，传统的研究会失去了核心地位。从这一时期开始，地平论更紧密地与宗教和阴谋论以及伪科学联系起来。（以上三段地平论简史部分参考自wiki百科）
时至今日，虽然网上出现的所谓“支持地平论的证据”大部分属于令人捧腹大笑的“段子级”论述，但其中不乏一些迷惑性极强的例子，普通人一旦不小心陷入了他们的逻辑圈套，便会难以给出正确的反驳。以地平论者的平均逻辑水平，这些例子也许不是他们刻意设计出来的，而是在与大众交流的过程中被筛选出来的。按现在的话来讲就是，因为他们认为大众是“错误的”，他们发了这一部分东西，大众最能被“破防”，那么这一部分东西就是最“正确”的。
其实地球的形状究竟是平面还是球体，对于每日常行动范围不过几公里十几公里、高度几十上百米的人来说一点都不重要，它完全不会影响到我们的衣食住行。但是为了地平论演化出来的一些学说其中的逻辑谬误却非常狡猾，可以轻易地用来包装任何一种伪科学让普通大众接受。其中就包括诉诸无知、以偏概全、稻草人、诉诸主观情感和错误归因等等。这些逻辑上的问题在我们的义务教育中是非常缺失的，我们的“科学”教育很多时候只会告诉你知识本身，让你背公式，而对于知识得来的方法以及鉴别方法涉及得并不深入，甚至有些课本上的解释本身就是不严谨的。在这种前提下，只有少数具有科学兴趣又恰好接触到科学的思维方式的人才能准确鉴别一个说法是否符合科学，大部分人则只能做到课本说、老师说、我爸爸说、国家说、我邻居二舅姥爷的发小说等等，而这样的思辨环境正是各种伪科学滋生的土壤。
