【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】『数理化自学丛书』其实还有新版，即80年代的改开版，改开版内容较新而且还又增添了25本大学基础自学内容，直接搞出了一套从初中到大学的一条龙数理化自学教材大系列。不过我依然选择6677版，首先是因为6677版保留了很多古早知识，让我终于搞明白了和老工程师交流时遇到的奇特专业术语和计算模式的来由。另外就是6677版的版权风险极小，即使出版社再版也只会再版80年代改开版。我认为6677版不失为一套不错的自学教材，不该被埋没在故纸堆中，是故才打算利用业余时间，将『数理化自学丛书6677版』上传成文字版。

第十章机械能

【山话||  本篇专栏中的力单位达因等于10⁻⁵牛顿；功的单位尔格等于10⁻⁷焦耳。另外这套老教材中的力的单位常用公斤，如今是不允许的，力是不能使用公斤为单位的】 

§10-5机械能守恒定律

【01】动能和势能总称为机械能，它们是可以相互转换的，我们用自由落体作为例子来研究它们的转换规律。

【02】一个质量为 m 的物体在高 h 处的位置（图10·10）上。这时，物体没有运动，所以动能EkC＝0，势能EpC＝mgh  。因此，物体的总的机械能为EC＝EkC＋EpC＝mgh  。

【03】现在让物体从 C 点自由落下到地面上的 A 点，如图10.10所示。这时，物体落到 A 点时的速度vA²＝2gh，所以它在A点的动能EkA＝1/2mvA²＝1/2m × 2gh＝mgh  。

【04】物体在A点的势能EpA等于零。所以，物体在A点的总的机械能为EA＝EkA＋EpA＝mgh  。

【05】由此可见，物体在从 C 点自由落下到 A 点时，势能完全变为动能，总的机械能保持不变。

【06】现在再在物体下落的路线上任意选择一点 B 来进行研究。B 点的高度是(h－h₁)，所以物体在B点的势能为 EpB＝mg(h－h₁)＝mgh－mgh₁，即势能减少了mgh₁  。

【07】物体从 C 点自由下落经过 B 点时的速度vB²＝2gh₁；所以物体在B点时的动能为EkB＝1/2mvB²＝1/2m × 2gh₁＝mgh₁，即动能增加了mgh₁  。

【08】物体在 B 点的总的机械能为EB＝EkB＋EpB＝mgh₁＋mgh－mgh₁＝mgh  。

【09】由此可见，物体自由落下时，在任何一段路程上的势能减少等于在那一段路程上的动能增加，但是总的机械能保持不变。

【10】利用同样的方法可以证明，竖直上抛的物体，如果不考虑空气的阻力，那么，在它上升的过程中动能的减少总是等于势能的增加，但是总的机械能保持不变。

【11】不仅重力势能可以与动能相互转变，弹性势能也可以与动能相互转变。

【12】如图10·11所示，在水平光滑的桌面上放一弹簧，一端固定，一端系一小球。球在位置1时，弹簧不伸不缩，没有弹性势能。现把小球拉到位置2然后放手，使在桌面上来回运动。当球在位置2时，动能为零，弹簧因被拉长而具有势能。从位置2转向位置1时，弹簧逐渐恢复原长，势能逐渐转变成动能；到达位置1时，全部势能变成了动能。从位置1转向位置3时，弹簧逐渐被压缩，动能逐渐转变成势能；到达位置3时，全部动能变成了势能。从位置3回到位置1和从位置1回到位置2时，象以前那样重复势能和动能的变化。

【13】同样地可以证明，在这个动能和弹性势能的相互转变的过程中，如果没有摩擦力和其他阻力的存在，总的机械能也保持不变。

【14】因此，从上面的分析中，我们可以得出一个重要的结论：在势能和动能相互转变的过程中，如果没有摩擦力和媒质的阻力的存在，也没有外力做功，则总的机械能保持不变。这就是机械能守恒定律，它是最普遍的自然定律一能的转变和守恒定律的一种特殊形式。

【15】工程上利用动能和势能相互转变来完成一件工作的例子是很多的。例如在筑路或者打坝的时候，为了使路基或堤坝坚固，工人们要用硪把松散的泥土打紧.当工人们把俄举起来的时候，抵抗重力做功，增加了势能；当硪落下来的时候，势能转变为动能；等它打到泥土上的时候，又消耗了动能，克服泥土的阻力做功。

例8.一个物体竖直上抛的速度是49米/秒。计算它的势能和动能在什么高度时恰好相等。

【解】设在离抛出处 h 高度的地方，动能和势能恰好相等，则在这个地方的总的机械能应该等于势能的两倍，即 2mgh  。根据机械能守恒定律，这个机械能应该等于把物体上抛时的动能，所以，即在离抛出处61.25米高度的地方，动能和势能恰好相等。

例9.物体由长 L 和高 h 的光滑斜面的顶点滑下，试证明在达到斜面末端时的速度为 v＝。先用动力学定律和运动学的公式证明，再用动能和势能的相互转变定律证明。

【解】

(1)用动力学定律和运动学公式证明。

使物体沿斜面滑下的力为 mgsinθ＝mgh/L  。根据牛顿第二运动定律 f＝ma，得mgh/L＝ma，∴ a=gh/L，即物体沿光滑的斜面滑下的加速度为gh/L，根据运动学的公式 v²＝2aS，已知S=L，所以  。

(2)用动能和势能的相互转变定律证明。

物体在斜面的顶点时，动能等于零，势能等于mgh  。物体在沿斜面滑下的过程中，势能逐渐减小，而动能则逐渐增加；到达斜面底时，全部势能都转变为动能，所以1/2mv²＝mgh，∴v＝  。

习题10-5

1、一个50克重的球从3米高的地方落到地面上后又跳起2米高。求它所损失的机械能。【0.05公斤·米】

2、一个250公斤重的炸弹从800米高的地方投下。求它离地面100米高时和落地时的势能和动能各等于多少？【25000公斤·米，175000公斤·米，0,200000公斤·米】

3、一个重10公斤的铁块从10米高处自由落下，求铁块落到距地面5米处的动能。【490焦耳】

4、一个小球用3米/秒的速度沿水平桌面运动，然后滚上斜面。如果摩擦力和空气阻力不计，试问小球沿斜面能上升多少高？【约0.46米】

5、如果炮弹的质量是枪弹质量的900倍，炮弹与枪弹用同一速度射中目标。问炮弹所做的破坏功是枪弹所做的破坏功的多少倍？如果使枪弹的动能等于炮弹的动能，则枪弹的飞行速度应该等于炮弹飞行速度的多少倍？【900倍，30倍】