【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教中学甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第四章因式分解 

§4-7最高公因式

【01】在算术里，我们学过几个整数的最大公约数。现在我们先来复习一下最大公约数的意义和求法。

【02】任何一个整数，如果它能够整除另一个整数，就叫它做后一个数的约数（或因数）。例如 12 是 36 的约数，12 也是 60 的约数。几个数共同的约数叫做这几个数的公约数，例如 12 是 36 和 60 的公约数。几个数的公约数可能不止一个，例如 12 是 36 和 60 的公约数，6 也是 36 和 60 的公约数。在几个数的所有公约数里，最大的一个公约数叫做这几个数的最大公约数，例如 12 是 36 和 60 的最大公约数。

【03】要求两个数的最大公约数，要先把这两个数分解成为质因数的连乘积，并把相同的质因数写成幂的形式。把这两个数的所有相同质因数（如果这种质因数是用幂的形式表示的，那末要把次数最低的一个幂选出来）都选取出来，它们的连乘积就是所求的最大公约数。

例1.求 36 和 60 的最大公约数。

【解】36＝2²·3²；60＝2²·3·5  。∴ 36 和 60 的最大公约数是 2²·3＝12  。

【注】对于质因数 2，要取 2²，因为如果只选用 2，那末 2×3＝6，就不是 36 和 60 的最大公约数。对于质因数 3，要取 3，因为如果取 3²，那末 2²·3²＝36，就不是 60 的约数，因而不是 36 和 60 的公约数了。

例2.求 96，192 和 288 的最大公约数。

【解】先把它们分解成为质因数的连乘积。96＝2⁵·3，192＝2⁶·3，288＝2⁵·3²  。∴ 所求的最大公约数是 2⁵·3＝96  。

【04】类似地在代数里，我们有时也要求几个整式的最高公因式，所谓几个整式的最高公因式，就是这些整式的公因式中次数最高的式子。现在把求几个整式的最高公因式的方法，举例说明如下：

例3.求 16a³b⁵x²，24a²b⁴x³，－32a⁵bx⁴y 的最高公因式。

【解】这三个代数式都是单项式，已经都是各个因式的连乘积的形式。我们只要选取它们共有的因式就是了。

拿数字系数来说，16，24，－32 的最大公约数是 8  。（负号通常不要选入）

拿字母因数来说，我们选各个代数式共有的字母，而且选各个字母的最低的幂，得 a²bx²  。

∴ 它们的最高公因式是 8a²bx²  。

【注】在代数里，我们叫最高公因式而不叫最大公因式，因为我们只考虑它在所有公因式中关于各个字母的次数是最高的，至于它的值，如果字母取小于 1 的值，那末次数越高，代数式的值是越小的。

例4.求 a⁴－a³b＋ab³－b⁴，a⁴－2a²b²＋b⁴，a⁶－3a⁴b²＋3a²b⁴－b⁶ 的最高公因式。

【解】这几个整式都是多项式，要先分解因式。

a⁴－a³b＋ab³－b⁴＝a³(a－b)＋b³(a－b)＝(a－b)(a³＋b³)＝(a－b)(a＋b)(a²－ab＋b²)，

a⁴－2a²b²＋b⁴＝(a²－b²)²＝[(a＋b)(a－b)]²＝(a＋b)²(a－b)²，

a⁶－3a⁴b²＋3a²b⁴－b⁶＝(a²－b²)³＝(a＋b)³(a－b)³  。

∴ 最高公因式是(a＋b)(a－b)  。

例5.求 (a－b)(c－a)，(b－a)(a＋c)，(a－b)(b＋a) 的最高公因式。

【解】

(a－b)(c－a)＝－(a－b)(a－c)；

(b－a)(a＋c)＝－(a－b)(a＋c)；

(a－b)(b＋a)＝(a－b)(a＋b)  。

∴ 最高公因式是 a－b  。

习题4-7

求下列各式的最高公因式：