【数学基础Ep6】每天三道题(数学分析+解析几何+线性代数)
参考资料:
《数学分析》(陈纪修 於崇华 编)
《解析几何》(吕林根 许子道 编)
《高等代数习题集》(杨子旭 编)
数学分析——
例题(来自《数学分析(陈纪修 於崇华 编)》)——
求数列极限:lim{[n^(1/2)][(n^2+1)^(1/4)-(n+1)^(1/2)]}
思路:有减法,有偶次根式,考虑分子有理化——
[n^(1/2)][(n^2+1)^(1/4)-(n+1)^(1/2)]
=[n^(1/2)][(n^2+1)^(1/2)-(n+1)]/[(n^2+1)^(1/4)+(n+1)^(1/2)]
=[n^(1/2)][(n^2+1)-(n+1)^2]/{[(n^2+1)^(1/4)+(n+1)^(1/2)][(n^2+1)^(1/2)+(n+1)]}
=[n^(1/2)][(n^2+1)-(n^2+2n+1)]/{[(n^2+1)^(1/4)+(n+1)^(1/2)][(n^2+1)^(1/2)+(n+1)]}
={-2n[n^(1/2)]}/{[(n^2+1)^(1/4)+(n+1)^(1/2)][(n^2+1)^(1/2)+(n+1)]}
对分子分母进行降次,分子最高次为0——
{-2n[n^(1/2)]}/{[(n^2+1)^(1/4)+(n+1)^(1/2)][(n^2+1)^(1/2)+(n+1)]}
=-2/{[(1+1/n^2)^(1/4)+(1+1/n)^(1/2)][(1+1/n^2)^(1/2)+(1+1/n)]};
取极限——
lim{[n^(1/2)][(n^2+1)^(1/4)-(n+1)^(1/2)]}
=-2/lim{[(1+1/n^2)^(1/4)+(1+1/n)^(1/2)][(1+1/n^2)^(1/2)+(1+1/n)]}
=-1/2.
解析几何——
例题(来自《解析几何(吕林根 许子道 编)》)——
a.在三角形ABC中,设AB=e1,AC=e2,设AT是角A的平分线(它与BC交于T点),将AT分解为e1,e2的线性组合.
b.在四面体OABC中,设点G是三角形ABC的重心(三中线之交点),求向量OG对于向量OA,OB和OC的分解式.
解——
a.过A点做BC边上的高AD,过T点向边AB,AC做垂线TE,TF——
由角平分线性质可知,TE=TF;
计算三角形ABT和三角形ACT的面积,S三角形ABT=AB*TE/2=BT*AD/2,S三角形ACT=AC*TF/2=CT*AD/2;
由2可得比式:
(|AB|*|TE|/2)/(|AC|*|TF|/2)=(|BT|*|AD|/2)/(|CT|*|AD|/2),即|AB|/|AC|=|BT|/|CT|,即|AB|/|AC|=|BT|/(|BC|-|BT|),
|BT|=|AB|*|BC|/(|AB|+|AC|),BT=|AB|BC/(|AB|+|AC|)
AT=AB+BT
=AB+|AB|BC/(|AB|+|AC|)
=AB+|AB|(AC-AB)/(|AB|+|AC|)
=(|AC|AB+|AB|AC)/(|AB|+|AC|)
=(|e2|e1+|e1|e2)/(|e1|+|e2|).
b.由重心定义可得:
OG=OC+CG
=OC+(CA+CB)/3
=OC+[(OA-OC)+(OB-OC)]/3
=(OA+OB+OC)/3.
高等代数——
例题(来自《高等代数习题集(杨子旭)》)——证明:实数域和复数域之间不存在其他的数域。
证明:设R是实数域,K是复数域,而F是任意一个包含R且不同于R的数域——
F至少包含一个复数a+bi(b不为0);
由于F是数域,故i=[(a+bi)-a]/b;
由于R是F的子集,故对任意的实数a,b,都有a+bi属于F,即F包含全体复数,从而为复数域,得证。
就到这里!