【数学基础Ep6】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）

参考资料：

1. 《数学分析》（陈纪修 於崇华 编）

2. 《解析几何》（吕林根 许子道 编）

3. 《高等代数习题集》（杨子旭 编）

数学分析——

例题（来自《数学分析（陈纪修 於崇华 编）》）——

求数列极限：lim{[n^（1/2）][（n^2+1）^（1/4）-（n+1）^（1/2）]}

思路：有减法，有偶次根式，考虑分子有理化——

1. [n^（1/2）][（n^2+1）^（1/4）-（n+1）^（1/2）]

   =[n^（1/2）][（n^2+1）^（1/2）-（n+1）]/[（n^2+1）^（1/4）+（n+1）^（1/2）]

   =[n^（1/2）][（n^2+1）-（n+1）^2]/{[（n^2+1）^（1/4）+（n+1）^（1/2）][（n^2+1）^（1/2）+（n+1）]}

   =[n^（1/2）][（n^2+1）-（n^2+2n+1）]/{[（n^2+1）^（1/4）+（n+1）^（1/2）][（n^2+1）^（1/2）+（n+1）]}

   ={-2n[n^（1/2）]}/{[（n^2+1）^（1/4）+（n+1）^（1/2）][（n^2+1）^（1/2）+（n+1）]}

2. 对分子分母进行降次，分子最高次为0——

   {-2n[n^（1/2）]}/{[（n^2+1）^（1/4）+（n+1）^（1/2）][（n^2+1）^（1/2）+（n+1）]}

   =-2/{[（1+1/n^2）^（1/4）+（1+1/n）^（1/2）][（1+1/n^2）^（1/2）+（1+1/n）]}；

3. 取极限——

   lim{[n^（1/2）][（n^2+1）^（1/4）-（n+1）^（1/2）]}

   =-2/lim{[（1+1/n^2）^（1/4）+（1+1/n）^（1/2）][（1+1/n^2）^（1/2）+（1+1/n）]}

   =-1/2.

解析几何——

例题（来自《解析几何（吕林根 许子道 编）》）——

a.在三角形ABC中，设AB=e1，AC=e2，设AT是角A的平分线（它与BC交于T点），将AT分解为e1，e2的线性组合.

b.在四面体OABC中，设点G是三角形ABC的重心（三中线之交点），求向量OG对于向量OA，OB和OC的分解式.

解——

a.过A点做BC边上的高AD，过T点向边AB，AC做垂线TE，TF——

1. 由角平分线性质可知，TE=TF；

2. 计算三角形ABT和三角形ACT的面积，S三角形ABT=AB*TE/2=BT*AD/2，S三角形ACT=AC*TF/2=CT*AD/2；

3. 由2可得比式：

   （|AB|*|TE|/2）/（|AC|*|TF|/2）=（|BT|*|AD|/2）/（|CT|*|AD|/2），即|AB|/|AC|=|BT|/|CT|，即|AB|/|AC|=|BT|/（|BC|-|BT|），

   |BT|=|AB|*|BC|/（|AB|+|AC|），BT=|AB|BC/（|AB|+|AC|）

4. AT=AB+BT

   =AB+|AB|BC/（|AB|+|AC|）

   =AB+|AB|（AC-AB）/（|AB|+|AC|）

   =（|AC|AB+|AB|AC）/（|AB|+|AC|）

   =（|e2|e1+|e1|e2）/（|e1|+|e2|）.

b.由重心定义可得：

OG=OC+CG

=OC+（CA+CB）/3

=OC+[（OA-OC）+（OB-OC）]/3

=（OA+OB+OC）/3.

高等代数——

例题（来自《高等代数习题集（杨子旭）》）——证明：实数域和复数域之间不存在其他的数域。

证明：设R是实数域，K是复数域，而F是任意一个包含R且不同于R的数域——

1. F至少包含一个复数a+bi（b不为0）；

2. 由于F是数域，故i=[（a+bi）-a]/b；

3. 由于R是F的子集，故对任意的实数a，b，都有a+bi属于F，即F包含全体复数，从而为复数域，得证。

就到这里！