一道三角形面积最值题的个人解法

由三斜求积术(秦九韶公式)得

S=1/2√[a²c²-(a²+c²-b²)²/4]

即4S²=a²c²-(a²+c²-b²)²/4

即16S²=4a²c²-(a²+c²-b²)²

即可先求4a²c²-(a²+c²-b²)²的最大值

令a²=x,b²=y,c²=z

分别代入约束条件和目标函数

即求取在x+2y+3z=1的条件下

4xz-(x+z-y)²的最大值

L=4xz-(x+z-y)²+m(x+2y+3z-1)

∂L/∂x=-2x+2y+2z+m=0

∂L/∂y=2x+2z-2y+2m=0

∂L/∂z=2x+2y-2z+3m=0

即-m=-2x+2y+2z=(2x+2z-2y)/2=(2x+2y-2z)/3

即-2x+2y+2z=x+z-y=(2x+2y-2z)/3

即-2x+2y+2z=x+z-y且-2x+2y+2z=(2x+2y-2z)/3

即3x-3y-z=0①且2x-y-2z=0②

又∵约束条件x+2y+3z=1③

∴联立①②③解三元一次方程组得:

x=5/22,y=2/11,z=3/22

则L=4xz-(x+z-y)²=1/11

此时海森矩阵负定，为极大值

故(16S²)max=1/11

Smax=√11/44

ps:上述求取极值所用之法为拉格朗日乘数法