画法几何习题重做（2）

题目要求：求作k点到平面ABC间的真实距离

分析：求点到平面的距离，就是寻找过该点的垂直于平面的直线，求该点与该直线与平面的交点之间的距离。那么就有两步：找线：首先找到这条垂线，再找到垂线与平面的交点；找距离：用直角三角形法求该垂线段的实长。

首先解释一个内容：

关于直角的投影特性：其实可以先看投影再看空间中的直线。以水平面投影为例：如果水平投影面上有一对互相垂直的投影线，那么我们可以过这两个投影线分别作一个铅垂面，也就是说将这两个投影看作是两个铅垂面的水平面投影，它们积聚为直线，这两个铅垂面的交线是铅垂线。那么，关于这两个铅垂面上的直线，在一个平面中找一条水平线，很容易知道这条水平线是垂直于另一个平面的，也就垂直于另一个平面上的所有直线。而若是在平面上找一条一般位置直线，那与之垂直的也只有另一平面内的水平线。这也是为什么只有水平线（正平线）与一般位置直线的垂直关系能够被它们的水平（正面）投影反映出来。

步骤：

在水平投影中找一条平行于轴的线，也即空间中一条正平线的投影。对应找到它的正面投影，过点k'做正面投影线的垂线。

同样地，在正面投影中找一条平行于轴的线，也即空间中一条水平线的投影。对应找到它的正面投影，过点k做水平投影的垂线。

在此处解释一下这样能够找到所需垂线的投影的原因：我们要找的是一条垂直于平面的直线，因此必须找出两条平面内不平行的直线与之垂直。根据直角的投影特性，我们就可以知道对于我们所找出的水平线与正平线，我们所作的直线是与这二者垂直的，而这两条直线是不平行的，因此通过这样作图我们已经找到了我们所需要的垂线的投影。然后我们需要找交点。如图中，过垂线的正面投影做一个辅助平面，同上一篇文章（详见习题重做（1））中的做法，我们就可以找到这条垂线与平面的交点。至此，已经完成了找线的步骤。

接下来是找距离。利用求线段实长的直角三角形法：用水平投影（正面投影）与其正面投影（水平投影）中两端点的高度差（距离轴的距离之差）构成的直角三角形的两直角边来求实长。这个根据教材中的图可以很直观地看出其方法的合理性。