微分方程数值解

P1:

本课程是研究生的课程

内容梗概：

1. ODE-IVP 有限差分法
2. PDE:

有限差分法：椭圆、抛物、双曲

有限元法：椭圆

谱方法（讲有限元的时候可能涉及）

课程目标：理论、算法、编程

第一章 ODE-IVP的数值解法

Euler法的误差分析

局部阶段误差的两种理解！

局部阶段误差的另一种理解

不同书上对于“局部阶段误差”有不同的界定方法

改进Euler法的局部截断误差

关键是“梯形公式”的误差

整体误差

稳定性：中途的误差是否连续地依赖于初始误差。

初始误差来源：测量误差、舍入误差

P2:

复习第一节课讲过的单步法

回忆显式、隐式、改进Euler的精度

第2节 线性多步法

思想：适当选取节点，用Language插值多项式代替f(t, u(t)), 做数值积分。

(1)Adams外插法（显式）

节点：t_n-k, ···, t_n（k+1步法）

k次多项式

(2)Adams内插法（隐式）

节点：t_n-k, ···, t_n, t_n+1（k+1步法）

k+1次多项式

2.1 数值积分法

插值公式回顾

Adams外插法

教材式(1.2.6)

系数a_j的计算（生成函数法）

待定系数法

程序求解

P3：

误差估计是更细致的收敛性

回顾k步法的一般表达式！！！

“相容性”：差商算子对微分算子的逼近。

回顾显式Euler法的相容性：

差分算子、差商算子、微分算子（注意微分算子和微分方程的区别）

k步法的相容性：

回顾P2：待定系数法

“稳定性”：解对初值的稳定依赖性。

回顾显式、隐式Euler法稳定性分析

稳定性分析时没有R，收敛性分析时有R

类似数值代数中的迭代法

1.1节后面线性差分方程的理论

k步法稳定性定理

离散形式的Gronwall不等式

k步法稳定性定理的应用

收敛性

书上表达式有错

相容+稳定=收敛

P4：

0:06:13：中点公式

1:13:58：讲解之前4节课介绍过的数值算法的程序。

P5：

1.6 一阶方程组的刚性问题

P6：

PDE数值解

两类方法：

有限差分法（FDM）：从定解问题的微分形式或积分形式出发。

有限元方法（FEM）：从定解问题的变分形式出发

椭圆、抛物、双曲

第二章 椭圆型方程的有限差分法

基本步骤：

1. 区域离散化
2. 微分算子离散化
3. 离散方程组求解

第1节 差分逼近的基本概念

一维情形

ODE-BVP，二阶化成一阶方程组

可用打靶法（shooting method），本课程不讲。

直接离散化方法

1. 区域离散化：将[a,b]区间n等分
2. 微分算子离散化：中心差分格式
3. 离散化方程组： 写成矩阵-向量形式

数值代数里有稀疏方程组解法

离散方程组求解的理论方法

方法1. 追赶法（Thomas法）

对角占优矩阵

Thomas算法程序实现

理论问题：

1. 差分方程是否存在唯一解？
2. 当h->0时，数值解是否收敛到真解，何种意义下收敛？收敛速度如何？

网格函数及各种范数

相容性、收敛性、稳定性

相容+稳定=收敛

稳定性是关键，常由先验估计得到

P7：

P8：

G为规则区域：有限差分法

G为不规则区域：有限元、有限体积法

困难：

1、网格剖分及其数据结构；

2、边界条件的处理

3.1 五点差分格式

1. 区域的离散化与几个概念

由有限体积法推导五点差分格式

2. 矩形区域上五点差分格式的离散化方程组

具体程序实现

P11：

编程格式推导

程序实现

差分格式要考虑的因素：

1. 计算简单
2. 收敛性与收敛速度
3. 稳定性

P12：

3.2 稳定性和收敛性

ODE-IVP Euler法和多步法的稳定性：

按初值稳定

椭圆方程BVP差分法的稳定性：

按右端稳定

Parabolic-IBVP：

1. 按初值稳定
2. 按右端稳定

Parabolic-IBVP差分格式的统一形式

四种格式的稳定性

P13：

Fourier方法

P14：

编程实现

预估矫正法和局部一维法（某种意义下和ADI等价）

椭圆方程的ADI方法

P15：

依存域、决定域、影响域

二阶双曲方程的差分格式

1.2 显格式

1.3 显格式的稳定性

微分方程中带有时间时，稳定性就十分重要

1.4 隐格式（类似于Crank-Nicolson格式的思想）

P16：

数值例子