陶哲轩实分析笔记(3.4)

这一节的新知识还挺奇妙和带感的。但是。。怎么这么多题……看瓶子直播，摸了。

解决一个问题之前，要具有一个问题的直观和掌握证明的结构。。

集合的象

 逻辑表达:y属于f(S)等价于存在某个x属于S使得y＝f(x)。说的更明白一点，由于可能会有映射的对象是重合的（但是反过来不可能），所以只要x属于S，f(x)就满足条件。但是反过来不成立。（存在的用处再说）

 t3.4.3象的分配律

逆象

 逻辑表达:f(x)属于U等价于x属于f⁻¹(U)。这个就很干脆了，直接等价就行了。

 注意到存在函数f的逆，写作f⁻¹，如果有U属于Y，那么存在U在f⁻¹上的象f⁻¹(U)。不过，如果我们把f⁻¹(U)看成f⁻¹的前象而不是f的逆象的话，就相当于承认f是存在逆的。也就是说，f是双射。恰好的是，这时二者是等价的。所以我们实际没有造成任何误解。

 这种问题的证法大概就是这样吧:

 倒是和集合里很多证明差不多

 t3.4.1逆象的定义没有歧义

 t3.4.4逆象的分配律

 t3.4.3逆象消去律（一般）

 t3.4.5逆象消去律（完整）

幂集公理

并集公理(新)

 指标集，标签，集族和索引

 交集(新)

3.4.5

正如开始说的，我们要先确认我们在讨论什么东西。

我们假设上面那条线是值域，下面那条线是定义域，圈起来的那段是集合S。最左边那个箭头说的是x映射到f(x)只有左边的一部分线段。那么，S的逆象，其实只有左边那一段在出力，右边的一小段完全找不到x与之对应。因此逆象再找回来，就只能找到左边那一段了，右边没有。

讲得很烂，你自己画一画感受一下。就是说t3.4.2的f(f⁻¹(U))的关系应该是f(f⁻¹(U)包含于U。

现在我们要证明如果是满射，那么就是相等的。想法就来源于此。