就对于一道数论题一位朋友提及之法的充分性证明

原视频及评论参考:
BV1Aq4y1g79u
概念简介:高斯整数是实部和虚部均为整数的复数。
原方程等价于求取模长为√2020的高斯整数
即|m+ni|=√2020(即满足m²+n²=2020)
对2020质因数分解，即2020=2²*5*101
根据棣莫弗公式(即复数相乘，辐角相加模长相乘)，m+ni可分解成3个模长分别为2,√5,√101的复数相乘
若3个分解后的子复数z₁,z₂,z₃为高斯整数，则有
z₁=±2,±2i
z₂=±1±2i,±2±i
z₃=±1±10i,±10±i
分别取1个高斯整数，组合相乘，有
2(1+2i)(1+10i)=-38+24i
2(1+2i)(1-10i)=42-16i
2(1+2i)(10+i)=16+42i
2(1+2i)(10-i)=24+38i
2(1-2i)(1+10i)=42+16i
2(1-2i)(1-10i)=-38-24i
2(1-2i)(10+i)=24-38i
2(1-2i)(10-i)=16-42i
2(2+i)(1+10i)=-16+42i
2(2+i)(1-10i)=24-38i
2(2+i)(10+i)=38+24i
2(2+i)(10-i)=42+16i
2(2-i)(1+10i)=24+38i
2(2-i)(1-10i)=-16-42i
2(2-i)(10+i)=42-16i
2(2-i)(10-i)=38-24i
ps:取实部为负的高斯整数，可提取负号再做运算，不改变乘积m+ni的实,虚部数值及模长，z₁换为±2i只调换实,虚部位置及改变原虚部符号，即运算(m+ni)i=-n+mi，与上述结果有对应的重复，故省略z₁为±2i时的讨论。
取实部，虚部均为正整数的复数提取实,虚部即原方程的解(m,n)
共如下4组
(24,38),(38,24),(16,42),(42,16)