A-2-3刚体平衡

2023-08-30 22:06 作者:夏莉家的鲁鲁 0人读过 | 我要投稿

2.3.1 力矩平衡

在高考中我们研究物体的受力平衡，可以把物体看成质点，只研究物体的平动。但是当我们研究刚体的平衡时，除了满足受力平衡，还需要满足力矩平衡。

初中我们就学习过杠杆原理，

$F_1L_1%3DF_2L_2$

其中力臂是从支点到作用线的距离，利用矢量的运算，我们可以定义力矩

$%5Cvec%20M%3D%5Cvec%20r%5Ctimes%5Cvec%20F$

满足杠杆原理，其实就是满足力矩平衡，动力与阻力我们可以用力矩的方向来区分。我们将选取的转动中心称为矩心。

平衡方程

由以上讨论，物体的平衡方程有两组

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Csum%20%5Cvec%20F_i%3D0%5C%5C%20%5Csum%20%5Cvec%20M_i%3D0%20%5Cend%7Bcases%7D$

对于空间力系，上式对应6个分量方程：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Csum%20%5Cvec%20F_%7Bix%7D%3D0%2C%5Csum%20%5Cvec%20M_%7Bix%7D%3D0%5C%5C%20%5Csum%20%5Cvec%20F_%7Biy%7D%3D0%2C%5Csum%20%5Cvec%20M_%7Biy%7D%3D0%5C%5C%20%5Csum%20%5Cvec%20F_%7Biz%7D%3D0%2C%5Csum%20%5Cvec%20M_%7Biz%7D%3D0%20%5Cend%7Bcases%7D$

对于平面力系，则对应3个分量方程：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Csum%20%5Cvec%20F_%7Bix%7D%3D0%5C%5C%20%5Csum%20%5Cvec%20F_%7Biy%7D%3D0%5C%5C%20%5Csum%20%5Cvec%20M_i%3D0%20%5Cend%7Bcases%7D$

例1.如图所示，一根长为l的杆靠在高为d的矮墙上，杆的质量为m，杆与地面间的摩擦因数足够大（可以保证杆与地面的接触点A处不滑动），杆与矮墙间的摩擦因数为 $%5Cmu$ .已知A点与矮墙的距离为a，试求：

（1）杆与地面间的夹角 $%5Ctheta$ 的最小值是多少？（2） $%5Ctheta$ 最小时，墙对杆的支持力为多少？

作受力分析如图，需要注意的是，由于杆在ABCD平面上滑动，C点所受支持力垂直平面，摩擦力平行于平面。

分别以DA和过A点且垂直ABCD平面的直线为转轴，作受力分析平面图：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20N%5Ccdot%5Coverline%7BAB%7D%3DG%5Cdfrac%7Bl%5Ccos%5Calpha%7D%7B2%7D%5Ccos%5Cbeta%5C%5C%20f%5Ccdot%5Coverline%7BAC%7D%3DG%5Csin%5Cbeta%5Cdfrac%7Bl%7D%7B2%7D%5Csin%5Calpha%20%5Cend%7Bcases%7D$

这里需要注意一下，不同视角的线段长度是不一样的。代入几何关系：
$%5Cbegin%7Bcases%7D%20N%5Csqrt%7Ba%5E2%2Bd%5E2%7D%3DG%5Cdfrac%7Bl%7D%7B2%7D%20%5Cdfrac%7B%5Csqrt%7Ba%5E2%2Bd%5E2%7D%5Csin%5Ctheta%7D%7Bd%7D%5Cdfrac%7Ba%7D%7B%5Csqrt%7Ba%5E2%2Bd%5E2%7D%7D%5C%5C%20f%5Cdfrac%7Bd%7D%7B%5Csin%5Ctheta%7D%3DG%5Cdfrac%7Bd%7D%7B%5Csqrt%7Ba%5E2%2Bd%5E2%7D%7D%20%5Cdfrac%7Bl%7D%7B2%7D%5Cdfrac%7B%5Csqrt%7Bd%5E2%5Ccot%5E2%5Ctheta-a%5E2%7D%5Csin%5Ctheta%7D%7Bd%7D%20%5Cend%7Bcases%7D$
解得

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20N%3D%5Cdfrac%7Bla%5Csin%5Ctheta%7D%7B2d%5Csqrt%7Ba%5E2%2Bd%5E2%7D%7DG%20%5Cdfrac%7B%7D%7B%7D%5C%5C%20f%3D%5Cdfrac%7Bl%5Csqrt%7Bd%5E2%5Ccot%5E2%5Ctheta-a%5E2%7D%5Csin%5E2%5Ctheta%7D%7B2d%5Csqrt%7Ba%5E2%2Bd%5E2%7D%7DG%20%5Cend%7Bcases%7D$
故

$%5Cdfrac%7Bf%7D%7BN%7D%3D%5Cdfrac%7B%5Csqrt%7Bd%5E2%5Ccos%5E2%5Ctheta-a%5E2%5Csin%5E2%5Ctheta%7D%7D%7Ba%7D%5Cle%5Cmu$
解得

$%5Ctheta%5Cge%5Carccos%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B(%5Cmu%5E2%2B1)a%5E2%7D%7Ba%5E2%2Bd%5E2%7D%7D$
代入临界值，得此时

$N%3D%5Cdfrac%7Bla%5Csqrt%7Bd%5E2-%5Cmu%5E2a%5E2%7D%7D%7B2d(a%5E2%2Bd%5E2)%7Dmg%20%5Cdfrac%7B%7D%7B%7D$
①要使结果有意义，一方面杆不能从墙上掉下，即 $l%5Csin%5Ctheta%3Ed$ ，化简得

$l%5Cge%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7Ba%5E2%2Bd%5E2%7D%7Bd%5E2-%5Cmu%5E2a%5E2%7D%7Dd$
另一方面，根号下非负，即

$%5Cmu%5Cle%5Cdfrac%7Bd%7D%7Ba%7D$
②当 $%5Cmu%3E%5Cdfrac%7Bd%7D%7Ba%7D$ 时，此时杆在任意位置均可以平衡， $%5Ctheta$ 取最小值时，棒的端点恰好搁在墙上：

$%5Ctheta_%7Bmin%7D%3D%5Carcsin%5Cdfrac%7Bd%7D%7Bl%7D$
对应支持力

$N%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2l%7D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7Bl%5E2-d%5E2%7D%7B1%2B%5Cmu%5E2%7D%7Dmg$

由上例可见，空间的刚体平衡问题还是比较复杂的，需要较好的空间想象力。大部分情况下，我们研究的还是平面情况。

平面力系

1.物体平衡时，矩心（转轴）的选取是任意的。

比如物体受力对A点合力矩为零，A点到第i个力作用点的位置矢量用 $%5Cvec%20r_i$ 表示，我们选取另一矩心B，B点到第i个力作用点的位置矢量用 $%5Cvec%20r'_i$ 表示，令 $%5Coverrightarrow%7BAB%7D%3D%5Cvec%20d$ .

则

$%5Csum%20%5Cvec%20r_i%5Ctimes%5Cvec%20F_i%3D%5Csum%5Cvec%20r'_i%5Ctimes%5Cvec%20F_i%2B%5Cvec%20d%5Ctimes%5Csum%5Cvec%20F_i$

其中 $%5Csum%5Cvec%20r'_i%5Ctimes%5Cvec%20F_i$ 表示以A点为矩心的力矩。受力平衡时， $%5Csum%5Cvec%20F_i%3D0$

故

$%5Csum%20%5Cvec%20r_i%5Ctimes%5Cvec%20F_i%3D0%E4%B8%8E%5Csum%20%5Cvec%20r'_i%5Ctimes%5Cvec%20F_i%3D0$ 等效

即在写力矩平衡方程时，矩心的选取不影响最终结果。由此，我们可以选择无需计算的力的作用点，或者几个力的作用线交点为矩心，来减少方程的未知数个数，从而简化运算。

2.力矩平衡方程可以代替受力平衡方程。

在写平衡方程时，我们可以分别以A、B为矩心写2个力矩平衡方程，再加上一个受力平衡方程。令 $%5Coverrightarrow%7BAB%7D%3D%5Cvec%20d$ ，有

$%5Csum%20%5Cvec%20r_i%5Ctimes%5Cvec%20F_i%3D%5Csum%5Cvec%20r'_i%5Ctimes%5Cvec%20F_i%2B%5Cvec%20d%5Ctimes%5Csum%5Cvec%20F_i$

上式中，由2个力矩平衡方程，前两项为0，则第三项也为0：

$%5Cvec%20d%5Ctimes%5Csum%5Cvec%20F_i%20%3D%5Cvec%20d%5Ctimes%5Csum%5Cvec%20F_%7Bix%7D%2B%5Cvec%20d%5Ctimes%5Csum%5Cvec%20F_%7Biy%7D%3D0$

此时再加一个受力平衡方程，由 $%5Csum%20%5Cvec%20F_%7Bix%7D%3D0$ 可以推得

$%5Csum%20%5Cvec%20F_%7Biy%7D%3D0$

但是要求 $%5Cvec%20d%5Cnot%5Cperp%20%5Chat%20x$ ，否则

$%5Cvec%20d%5Ctimes%5Csum%5Cvec%20F_%7Biy%7D%3D0$

恒成立。同理，我们也可以分别以A、B、C为矩心，写3个力矩平衡方程，令

$%5Coverrightarrow%7BAB%7D%3D%5Cvec%20d_1%EF%BC%8C%5Coverrightarrow%7BBC%7D%3D%5Cvec%20d_2$

同上可得

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Cvec%20d_1%5Ctimes%5Csum%20%5Cvec%20F_i%20%3D%5Cvec%20d_1%5Ctimes%5Csum%20%5Cvec%20F_%7Bix%7D%20%2B%5Cvec%20d_1%5Ctimes%5Csum%20%5Cvec%20F_%7Biy%7D%3D0%5C%5C%20%5Cvec%20d_2%5Ctimes%5Csum%20%5Cvec%20F_i%20%3D%5Cvec%20d_2%5Ctimes%5Csum%20%5Cvec%20F_%7Bix%7D%20%2B%5Cvec%20d_2%5Ctimes%5Csum%20%5Cvec%20F_%7Biy%7D%3D0%20%5Cend%7Bcases%7D$

该方程能解得唯一解

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Csum%20%5Cvec%20F_%7Bix%7D%3D0%5C%5C%20%5Csum%20%5Cvec%20F_%7Biy%7D%3D0%5C%5C%20%5Cend%7Bcases%7D$

的要求是 $%5Cvec%20d_1$ 与 $%5Cvec%20d_2%20$ 不共线，即3个矩心不共线。

例2.如图，半径分别为 $r_1$ 和 $r_2$ 的两个均匀圆柱体置于同一水平面上，在大圆柱上绕有一根细绳，通过细绳对大圆柱施以水平拉力P.设所有接触处的静摩擦因数均为 $%5Cmu$ .为使在力P的作用下，大圆柱能翻过小圆柱，问 $%5Cmu$ 的最小值是多少？

画出受力分析图：

对1，分别选 $O_1$ 、F、B为矩心，得

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20f_1r_1%3Df_2r_1%5C%5C%20N_1%5Coverline%7BFC%7D%2BG_1%5Coverline%7BBF%7D%3DN_2%5Coverline%7BBF%7D%5C%5C%20N_1r_1%5Csin%5Ctheta%3Df_1%5Coverline%7BBF%7D%5Csin%5Ctheta%20%5Cend%7Bcases%7D$
对2，分别选 $O_2$ 、E为矩心，得

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20f_1r_2%3DPr_2%5C%5C%20G_2%5Coverline%7BEA%7D%3DN_1%5Coverline%7BEC%7D%5C%5C%20%5Cend%7Bcases%7D$
上述方程组化简得
$%5Cbegin%7Bcases%7D%20f_1%3Df_2%3DP%5C%5C%20N_1%3DN_2-G_1%3DG_2%5C%5C%20%5Cdfrac%7Bf_1%7D%7BN_1%7D%3D%5Ctan%5Cdfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%20%5Cend%7Bcases%7D$
由于 $N_2%3EN_1$ ，只要C处不滑动即可，即求 $%5Cdfrac%7Bf_1%7D%7BN_1%7D$ 的最大值，也就是 $%5Ctheta$ 的最大值。

由图可知，初始时刻 $%5Ctheta$ 最大，此时

$%5Cmu%5Cge%5Ctan%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%3D%5Cdfrac%7BCF%7D%7BR%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7Br_1%7D%7Br_2%7D%7D$
其中f_1和N_1的比值也可以由下一节的共点力平衡直接得到。

2.3.2 共点力平衡

在力矩平衡方程中，物体一共受到n个力，如果其中n-1个作用力交于同一点O，选O点为矩心时，有

$%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn-1%7D%20%5Cvec%20r_i%5Ctimes%5Cvec%20F_i%3D0$

由于

$%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20%5Cvec%20r_i%5Ctimes%5Cvec%20F_i%3D0$

二者作差得

$%5Cvec%20r_n%5Ctimes%5Cvec%20F_n%3D0$

故 $%5Cvec%20r_n$ 一定也过O点。

特殊的，当物体只受3个力，三力不平行时，一定交于同一点。当2个力作用点相同时，我们可以将两个力等效为一个力，而不影响力矩。比如同一点的支持力和摩擦力，可以等效为全反力。

由此，2个受力平衡方程我们可以用力的闭合矢量图来代替，1个力矩平衡方程可以用三力交于同一点来代替。用几何视角解决力学问题，往往比较快捷。

例3.如图所示，对均匀细杆的一端施力F，力的方向垂直于杆．要将杆从地板上慢慢地无滑动地抬起，试求杆与地面间的最小摩擦因数.

作受力分析图如图，其中已经将摩擦力和支持力等效为全反力，则三力交于同一点。

要求摩擦系数的最小值，即求 $%5Ctan%5Ctheta$ 的最大值。设杆长为l，找到 $%5Ctheta$ 和 $%5Calpha$ 的关系：

$l%5Ccot(%5Calpha%2B%5Ctheta)%3D%5Cdfrac%7Bl%7D%7B2%7D%5Ccot%5Calpha$
化简得

$%5Ccot%5Ctheta%3D2%5Ctan%5Calpha%2B%5Ccot%5Calpha%5Cge2%5Csqrt%7B2%7D$
故

$%5Cmu%5Cge(%5Ctan%5Ctheta)_%7Bmax%7D%3D%5Cdfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B4%7D$

例4.如图，一架均匀梯子AB，质量为M，长AB=10m，靠在光滑墙壁上，A、B两端到墙角O的距离分别为AO=8m、BO=6m，已知梯子与水平地面间的静摩擦因数为 $%5Cmu%3D0.5$ .试回答下列问题：（1）地面对梯子的作用力为多大？（2）一个质量为5M的人沿此梯子向上爬，他最多能沿梯子上升多远而不致使梯子倾倒？

对人和杆整体作受力分析，这里人的重力和杆的重力平行，可以将2者等效为一个重力G'，等效作用点在O，人的中心为 $O_2$ ，杆的中心为 $O_1$ .

恰好滑动时

$%5Ctan%5Ctheta%3D%5Cmu%3D0.5$
由几何关系

$%5Cdfrac%7BAO%7D%7BAB%7D%3D%5Cdfrac%7BAD%7D%7BCB%7D%3D%5Cdfrac%7B%5Ctan37%C2%B0-%5Ctan%5Ctheta%7D%7B%5Ctan37%C2%B0%7D%3D%5Cdfrac%7B1%7D3%7B%7D$
又

$AO_1%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7DAB%2C%5Cdfrac%7BOO_1%7D%7BOO_2%7D%3D5$
故人爬的最大高度

$BO_2%3D%5Cdfrac%7B7%7D%7B10%7DAB%3D7m$